假设法解题 [假设性想象在解题中的应用]

时间：2019-04-04 03:14:16　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　新课标北师大版数学教材八年级（上）第198页提出了《孙子算经》中“鸡兔同笼”问题：鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问鸡兔各有几何？　　这一问题可用二元一次方程组来解，解题过程也很简单，我们不再赘述。下面来看几种趣味解法。
　　算术解法
　　我们把鸡当做兔子，应有腿35×4=140只，比实际有的多了140-94=46只，每只鸡多算了两只腿，所以46÷2=23，即为鸡的只数；35-23=12，即为兔的只数。
　　张景中解法
　　张问：兔有4只足，鸡只有2只，这岂不是太不公平了吗？
　　学生答：不是不公平，鸡还有两只翅膀呢！
　　张问：如果翅膀也算足，共有多少足？
　　学生答：有35×4=140只，这说明有140-94=46只翅膀，原来有23只鸡！
　　看了张教授的解法，真叫人称奇，在他的三两句点拨之下，疑难顿消，思路特别简单。妙在题中本不涉及翅膀，他却引入翅膀，又奇在将翅膀设想为足，从中我们可以领略想象在解决问题中的作用。
　　当我们展开想象的翅膀，任思绪在自由的思维空间中遨游时，会有一种无所不能的感觉。不存在的事物可以想象它已经存在，正确的可以假设它是错的（如反证法），未知的可以想象它已出现在眼前（如设元、列方程解题），这种思维方法能有效地帮助我们分析、推理，预测未来世界和未知世界，我们称这种思维为假设性想象，或简称为假想。
　　假想的特征是常常用“假设”“假定”“假如”“倘若”“如果”“设”等词出一个虚拟语句来表达。如，“鸡兔同笼”代数解法中的“设有鸡x只、兔子y只……”，算术解法中的“把鸡假设为兔子”，张教授解法中的“假设翅膀也算足”等等。需特别指出的是假设思维在列方程解题中起支撑作用，只有假设待求的已经求出，就是x、y等元素，然后让它们参与到问题的情境中，才会列出方程，从而解决问题。
　　“鸡兔同笼”也被外国数学家研究过，美国的波利亚就是其中一个，他有一种独特解法也是建立在假想分析之上的。
　　波利亚解法
　　假设每只鸡用一条腿站立，每只兔子用两条后腿站立，则腿数只剩下一半，即47只，这47只可以从点鸡、兔的头数得出，不过鸡的头数只计算一次，而兔的头数需计算两次，于是47-35=12是兔的头数，剩下23只鸡。
　　（作者单位山东省东营市垦利县胜坨中学）

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