数学高考:要求有变,重点依旧_数学高考重点

　　试卷整体: 　　过渡平稳 　　部分调整 　　重点内容重点考 　　 　　根据《2010年浙江省普通高考考试说明》(以下简称《考试说明》),2010年高考数学卷的组卷结构、试题类型、分值分布和考查难度基本与2009年保持一致,体现了新课程改革第一轮三年实验期平稳过渡的原则。
　　高考在全面考查的基础上,极为重视对主干知识和重点内容的考查。而主干知识不外乎以下六大块:三角函数与解三角形、概率统计(计数原理和分布列)、立体几何(含空间向量、坐标系)、数列与不等式、解析几何(含平面向量)、函数与导数应用。解答题出题一般会从上述内容中“6选5”,不过从近年形势看,数列与不等式综合题出现的可能性略小。
　　仔细研读《考试说明》,不难发现今年的考试要求与去年相比存在一些变化(在后面的专题讲解中将详细说明),同学们在复习中应加以关注。
　　☆ 备考建议
　　1. 报考第二类及以上院校的同学要把基础分全拿到手
　　高考中考查基本知识、基础方法的试题分值大约占到70%,报考第二类及以上院校的同学应该把这些分数都拿到手。
　　2. 把“加强运算能力”落实到行动上
　　运算能力和运算准确度的培养虽然年年都在提,但每年都有很大一部分同学在一些并不很难、但涉及到复杂计算或运算技巧的问题上“落马”,这样的失分很不应该。
　　运算不仅指数值计算,还包括代数式的化简转化、变形、变量代换以及字母化简运算等。近年的考试有强化运算考查的趋势,因此同学们必须把“加强运算能力”这一口号落实到行动上。
　　3. 应用问题训练不必过难过深
　　应用问题出题注重贴近同学们的生活实际,追求公平的知识背景,因此在复习中这方面的训练不必过难过深。
　　4. 解题应关注隐含条件
　　高考中的许多问题除了题干给出的明显信息外还有隐含条件,如三角函数中角度的范围、直线和圆锥曲线交点存在的前提(判别式)、函数的定义域等,同学们在解题时要有意识地加以挖掘、利用。
　　
　　三角函数与解三角形:
　　性质考查更受重视
　　三角变换要求保持稳定
　　
　　对于三角函数与解三角形内容,2010年的《考试说明》与2009年的相比有以下变化:
　　(1) “理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的性质(如单调性、最大值、最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间-,的单调性”“理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值、最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数的单调性”;
　　(2) “了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题”“会用三角函数解决一些简单的实际问题”。
　　以上变化透露出这样的考试信息:2010年高考将更注重对正余弦、正切函数性质的把握和运用,而在三角恒等变换、解三角形方面的考查要求没有变化。涉及三角函数的实际应用问题可能会更倾向于考查以平面向量、三角形边角关系为载体的综合应用问题。
　　
　　☆ 备考建议
　　三角函数的核心内容由“性质”和“关系”纵横两个维度交织而成。“纵线”秉承基本初等函数的研究方式,按定义域、值域、图象、单调性、奇偶性、周期性等性质展开,重在基础;“横线”按角度、函数、边角间关系的变换展开,重在技能。
　　1. “性质”复习:重点掌握典型函数
　　(1) 共性与个性对比。一方面要理解三角函数与一般函数的共性,如都具有定义域、值域、奇偶性、单调性等,理解这些性质产生的机理;另一方面要注意三角函数的个性特点,重点是周期性,它引出了我们解决三角函数问题的一般思路――截取一个周期研究,周期之外同理延拓。
　　(2) 利用图形。新教材中采用单位圆来定义任意角的三角函数,解题中要对此以及三角函数的图象进行充分利用。从图形特征中去把握性质,可以达到很好的效果。
　　(3) 重点掌握y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,尤其是其图象特征。高考中很多三角函数问题都是围绕此函数展开的。
　　2. “关系”复习:以“变”为主线
　　(1) 熟练掌握“变”的工具。主要是掌握基本变换公式及其作用:诱导公式用于角度之间的关系变换;同角关系式用于不同三角函数名之间的变换;正余弦定理及面积公式用于三角形边角关系的转化;和、差、倍角公式则是综合变换的“纽带”。
　　(2) 充分把握“变”的规律。三角变换时,需会用“切化弦”“辅助角”“1的代换”等技巧,把含有不同名或不同角的三角函数式化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数式,即追求“名、角、式”(三角函数名、角度、运算结构)的统一。
　　
　　概率与统计:
　　“几何概型”已删去
　　五个基本模型是重点
　　
　　概率与统计内容中,2010年《考试说明》与2009年的相比有一个明显的变化:删去了“了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义”,其他内容则保持稳定。
　　这一变化说明今年高考对“几何概型”的考查没有要求,关于概率与统计的题型将会在稳定中见创新。
　　概率与统计内容在高考中以中档题或中档偏易题为主,约占全卷总分的6%～10%。以排列组合和概率知识为背景的实际应用问题已经并仍将是高考中的主流题型。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 五个基本概率模型要重点掌握
　　对随机事件的概率问题的考查主要集中在五个基本概率模型(古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验)上。“相互独立事件概率的乘法”“互斥事件概率的加法”和“先求某事件的对立事件的概率”等,是处理上述问题的基本方法,同学们要重点掌握。
　　2. 求解随机变量分布列和数学期望是“基本功”
　　近年来理科高考对离散型随机变量分布列和数学期望的考查有所加强,几乎每年都会在解答题中出现。考查中一般均涉及利用排列组合知识进行计数。
　　3. 学会用基本概率模型解决概率综合题
　　随着“新课改”的进一步实施,概率问题出现了综合化的新趋势。概率与函数、概率与方程、概率与不等式、概率与数列等交汇题型在高考中时有出现。在求解这些综合问题时,要学会将其转化为纯概率问题,利用基本概率模型进行求解。
　　4. 关注统计与概率的交汇
　　新课程高考对统计的考查要求更多、更广、更活,主要考查抽样方法、统计图表等内容,其难度大致与教材内容持平。统计与概率问题的有机结合是高考的新亮点,在复习时应重视。
　　
　　立体几何(含空间向量):
　　三视图仍会重点考查
　　文科空间角要求有提升
　　
　　对于立体几何(含空间向量)内容,2010年《考试说明》(理科)与2009年的相比没有实质变化;而《考试说明》(文科)则有一处明显的变化:“了解两条异面直线所成角及二面角的概念”中的“了解”二字被改为了“理解”,要求明显上升。
　　鉴于这一变化,在“空间几何体的结构、三视图、直观图、表面积和体积”“点、直线、平面的位置关系”“直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定与性质”“空间角的计算”这四个考点上,文、理科的要求达成了一致。
　　而考点“空间向量与立体几何”仍是理科卷的考查重点(文科不作要求),主要考查空间向量及运算、空间向量在立体几何中的应用。建立适当的空间直角坐标系是解题的关键。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 掌握13个公理、定理、性质
　　熟练掌握基本概念及《考试说明》中列出的13个公理、定理、性质。证明空间线面、线线、面面平行与垂直是立体几何的必考内容。
　　2. 三视图内容应重点训练
　　从我省2005～2008年的高考卷来看,立体几何分别在选择题、填空题、解答题中各占一题,总分值约为23分;而2009年则在原有分值保持不变的基础上,增加了一道有关三视图的填空题,使得立体几何的分值达到了27分。
　　3. 注重通性通法
　　立体几何中如角的求法、距离之间的转化、平行与垂直关系的证明、平面图形的翻折与空间图形的展开等问题都有明显的解题规律可循,即解题存在“通法”,要切实掌握。体积的求解要重视割补法、等积变换等方法的运用。理科考生还要重点掌握向量方法的灵活运用。
　　4. 注意书写规范
　　解答题中“作图、证明、计算”三个环节必须交代清楚,关键步骤、关键结论尤其要表述清晰,这些都是阅卷中的“采分点”。
　　
　　数列与不等式:
　　数列与不等式综合题要求降低
　　类比推理值得关注
　　
　　对于数列与不等式内容,2010年《考试说明》(理科)与2009年的相比有以下明显变化:
　　(1) “了解数列的概念和几种简单的表示方法;了解数列是自变量为正整数的一类函数”“了解数列的概念和几种表示方法”;
　　(2) “能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题”“能运用数列的等差关系或等比关系解决实际问题”;
　　(3) 删去了“了解基本不等式的证明过程”。
　　新课程背景下的数列内容教学要求有显著变化,对递推关系及其与不等式相结合的考查要求已经明显降低。从浙江省2009年高考试卷以及2010年的样卷来看,理科卷都只在客观题中考查了数列知识,解答题中都没有出现数列与不等式综合题,对数列的考查集中在等差、等比数列的基本知识和基本运算能力方面,明显有别于以前的要求。
　　而文科卷对数列的考查一直是一道客观题加一道解答题的形式,在考查内容和要求上都与以往变化不大。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 数列复习要把握“度”,关注类比推理
　　数列复习中要重点抓住等差、等比数列基本知识的掌握与基本运算能力的培养,对递推关系的训练可限于能转化为等差、等比关系的简单问题,求和问题则可限于能利用等差、等比数列性质及前n项和公式解决的特殊数列问题。
　　以等差、等比数列为载体考查探索与推理能力是近年命题的新趋势,其实质就是考查对等差、等比数列基本性质的理解。如2009年高考数学浙江卷(文)第16题:“设等差数列{an｝的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列。类比以上结论有:设等比数列{bn｝的前n项和为Tn,则T4,,
　　,成等比数列。”同学们在复习中要对此类题型加以关注。
　　2. 备考不等式重在基础,线性规划要重点掌握
　　备考中要着重掌握不等式的基本性质,会利用基本不等式求最值。这些问题大多考查得比较基础,但偶尔也会作一些深化与综合,故在复习中不能掉以轻心。
　　线性规划问题几乎是近年来必考的内容,要重点掌握。
　　
　　平面向量:
　　与解析几何交汇已成事实
　　重在考查“工具性”
　　
　　对于平面向量内容,2010年《考试说明》与2009年的相比没有任何变化,可以说是一字不差,这表明高考对平面向量的考查要求基本保持稳定,但这并不意味着在考查方式上没有任何变化。
　　随着自主命题的深入,高考对向量“工具性”的考查势必会有所加深,其应用的广度也将逐渐扩大。2009年的浙江省考题中第一次出现了解析几何与向量的交汇题型,说明同学们对向量与解析几何的综合题型应充分关注。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 向量考题一般难度不大,关键在于理解几何意义
　　2004～2008年高考浙江卷中的平面向量内容均为单独命题,题型为选择题或填空题,每年1题,突出考查向量的平面几何意义。一旦理解几何意义,这类试题往往可以“秒杀”。
　　2. 向量的工具性是学习的重点
　　向量作为解决问题的工具,多与三角函数、圆锥曲线等知识综合考查,这一点在2009年浙江卷中就有了明显体现。因此复习时要着重掌握向量知识的基础性和工具性。
　　
　　解析几何:
　　双曲线考查要求略有提升
　　位置关系依然是重点
　　
　　对于平面解析几何内容,值得关注的变化在于2010年高考对于双曲线的考查要求有所提高,由“了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质”改为了“了解双曲线的定义,掌握双曲线的几何图形和标准方程,理解它的简单几何性质”。其他内容相对来说还是比较稳定的。
　　在高考中,解析几何题的分值一般占总分的16%左右。解析几何的选择题、填空题难度以中档题居多;解答题则综合性强,难度较大,常出现在解答题部分第3～5题的位置。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 直线与圆锥曲线的位置关系要重点掌握
　　高考中直线与圆锥曲线的位置关系问题一直是热点,解题时常要用到数形结合思想和弦长公式、韦达定理及设而不求的方法。
　　2. 定义和性质要“两手抓”
　　对圆锥曲线基本定义的考查一直备受重视,如解答题中轨迹的求解就是典型的定义考查方式之一。圆锥曲线的几何性质,包括对称性、顶点坐标、离心率、双曲线的渐近线、抛物线的准线方程等,也都是考查的重点。
　　3. 学会选择合适的方程
　　高考中往往要求同学们能够根据题目条件选择合适的方程形式(如直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式;圆方程的标准式、一般式;圆锥曲线方程的标准形式)来解决问题,体现了解析几何“用代数方法研究几何问题”的基本思想。
　　4. 提炼方法和思想
　　要重点掌握解析几何的基本方法如解析法、待定系数法、变换法、参数法等,重视对数学思想如函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等的提炼,以数学思想方法来指导解题,提高复习效率。
　　
　　函数与导数:
　　局部调整多
　　导数工具性受重视
　　
　　对于函数与导数内容,2010年《考试说明》与2009年的相比值得注意的变化有:
　　(1) “会讨论和证明一些简单的函数的单调性;会判断简单的函数的奇偶性”“会讨论和证明函数的单调性;会判断函数的奇偶性”;
　　(2) “能求出一些简单的函数的最大(小)值”“能求函数的最大(小)值”;
　　(3) “会运用函数图象理解和研究函数的性质”“会运用函数图象理解和讨论函数的性质”;
　　(4) 删去了“了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数”;
　　(5) “了解函数零点的概念,结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系;理解并掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,能利用函数的图象和性质判断函数零点的个数”“了解函数零点的概念,能判断函数在某个区间上是否存在零点”。
　　以上变化表明2010年高考对于函数的单调性、奇偶性及最值的考查要求有所提高;在利用函数的图象解题方面,或许会更注重对数形结合思想的考查;而对于函数零点,要掌握判断一般函数在某个区间上是否存在零点的方法。
　　
　　☆ 备考建议
　　在复习函数与导数内容时,应以函数的基本概念和性质为主线,重视对函数与其他知识交汇问题的复习,关注解决这些问题的通性通法。同时,应充分重视导数的“工具”作用,培养利用导数分析函数性质的能力。
　　1. 要学会抽象函数问题具体化
　　在解决具有一般规律的抽象函数问题时,可以用特殊化的方法将抽象问题具体化。
　　2. 掌握在不同函数模型下寻找函数零点的方法
　　对于函数零点问题,要注意函数有零点与方程有解是等价的,两个函数图象的交点问题也可以借助零点来讨论。
　　对于简单初等函数模型,可通过画出函数大致图象、选择特殊点进行估算判断来寻找函数零点;对于复杂函数模型,一般要结合导数讨论函数的图象特征,根据零点存在定理来寻找函数的零点。
　　3. 重视导数工具性
　　近年来的高考对导数及其应用是重点考查的,考查的知识点主要包括导数的几何意义、函数的单调性、极大(小)值、最大(小)值等。考查方式主要有:利用导数研究函数的单调性、极值以及函数图象的切线,利用导数证明不等式等。
　　另外,我们要关注以下意识和能力的养成:① 时刻谨记在函数定义域内研究问题;② 会从函数观点分析问题,通过数形结合寻找解题突破口;③ 会简化函数结构,适当换元改变函数类型;④ 会通过构造函数将不等式问题转化为函数问题。
　　
　　IB模块:
　　不等式要求恐上升
　　极坐标要求或下降
　　
　　对于IB模块的内容,2010年《考试说明》与2009年相比,只是删去了“掌握最简单的绝对值不等式xa的解法和几何意义”,其余不变。这表明2010年自选模块数学部分的考查总体保持稳定,命题内容仍基本锁定在柯西不等式、均值不等式与极坐标上。
　　由于参数方程的考查内容实质上与解析几何重合,入选可能性略小一些;如果入选,多半是与极坐标结合命题。而数学史与矩阵因属了解层面,基本不会入选。
　　从具体的命题上看,不等式的证明、求最值,极坐标方程与直角坐标方程的互化,求曲线的极坐标方程,利用极坐标求角的大小和参数的取值范围等仍是主要考查内容。
　　从2010年的样卷看,不等式证明中涉及了均值不等式与柯西不等式的综合交叉应用,这是一个信号。而且从教材的内容设置看,在考查柯西不等式、均值不等式的同时,结合考查不等式证明的基本方法,都是可能的出题方向。
　　至于极坐标内容,2010年的样卷题比2009年的高考题略易,这似乎传递出一种信号:2010年自选模块数学部分不等式考查难度会有上升,而极坐标考查难度可能略有下降,都作适度微调。
　　
　　☆ 备考建议
　　1. 抓住重点内容、重点题型、重点方法
　　根据《考试说明》,IB考试重中之重是不等式与极坐标,其次是参数方程与极坐标的综合。在不等式的应用中,要熟练两种题型:证明与求极值;要掌握三种方法:系数的配凑、迭乘迭加、引入参数。对于较难的系数配凑,可以适当引入待定系数。在极坐标知识中,要重点掌握直线与圆的方程。
　　2. 关注均值不等式与柯西不等式的综合、参数方程与极坐标的综合
　　备考中要多关注均值不等式与柯西不等式的综合应用,而对于参数方程与极坐标的综合,同学们也应该有充分准备。
　　3. 结合必修,适度兼顾
　　IB模块的内容不是孤立存在的,它和必修内容有着紧密的联系。比如极坐标与参数方程与必修中的解析几何本质上是相通的,甚至是一致的;IB中的不等式只是必修中的不等式内容的深化而已,方法也是互通的。因此备考中可将IB模块与必修内容有机融合、适度兼顾。