_中考复习指导之六:圆
时间：2019-01-30 03:36:58 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
“圆”是中心对称图形这一知识领域的重要内容,是中考数学的必考内容.抽取2009年全国部分省市的46份中考数学试卷来看,直接考查圆的相关知识的试题平均每份为12.5分,从2008年江苏省13个大市的中考试卷来看,直接考查圆的试题平均每份有14分,约占全份试卷的10%.因此,重视对“圆”这部分内容的复习,就显得十分必要.本文旨在帮助同学们理清这部分内容的结构体系,掌握有效的复习策略,提高复习的针对性.
一、知识梳理
本部分内容各知识点间的结构可用下图表示:
二、考点分析与典型例题
1.圆心角与圆周角:有关角度的计算是中考考查的重点内容,有的是利用圆心角与圆周角之间的关系进行计算,有的是利用同弧或等弧所对的圆周角相等来进行转化计算,有的是利用直径所对的圆周角的特征构造直角三角形来计算.中考试题中常以选择或填空形式呈现.
例1(2009孝感)如图1,⊙O是△ABC的外接圆,已知∠B=60°,则∠CAO的度数是().
A.15° B.30° C.45° D.60°
【思路点拨】抓住题中的已知条件,如本题中的OA是半径、∠B=60°等,由此可延长AO交圆于点D,此时AD是圆的直径,连接BD,则可发现所求角∠CAO的度数等于∠CBD=90°-60°=30°.这里渗透了转化的思想方法,将求角∠CAO的度数转化为求角∠CBD的度数.
2.垂直于弦的直径的相关性质:这个性质也称为垂径定理,它是圆的性质中的一个基本定理,是解决与圆有关问题的有力工具,对于沟通圆中弦与弦、弦与弧、弦与角之间的联系有很大作用,中考中常以计算形式出现.
例2(2006连云港)如图2,一宽为2cm的刻度尺在圆上移动,当刻度尺的一边与圆相切时,另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位:cm),则该圆的半径为cm.
【思路点拨】本题借助刻度尺给出条件:①圆中的一条弦长6cm;②该弦到其所对劣弧的中点的距离为2cm,从而作出垂直于该弦的直径(或半径)即可将问题转化为用勾股定理解直角三角形的问题.求得其半径为cm.
例3(2008年镇江)推理运算:如图3,AB为⊙O直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)∠OCD的平分线CE交⊙O于E,连接OE.求证:E为弧ADB的中点;
(2)如果⊙O的半径为1,CD=,
①求圆心O到弦AC的距离;
②填空:此时圆周上存在个点到直线AC的距离为.
【思路点拨】垂径定理中涉及到以下五个“事项”:①垂直于弦;②过圆心;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.以其中的任意两个作为条件均可得到其余三个.注意:当把“平分弦的直径”作为条件时,必须考虑该弦本身不能为直径,否则是不能得到其余三个结论的.对于本题中的第(1)题,欲证点E为弧ADB的中点,只需证OE垂直于直径AB即可,这由∠OEC、∠OCE都与∠ECD相等就可得到.
解:(1)∵OC=OE,∴∠E=∠OCE.又∠OCE=∠DCE,∴∠E=∠DCE.
∴OE∥CD.又CD⊥AB,∴OE⊥AB.故E为弧ADB的中点.
(2)①∵CD⊥AB,AB为⊙O的直径,CD=,∴CH=CD=.
又OC=1,sin∠COB===.∴∠COB=60°,∴∠BAC=30°.
作OP⊥AC于P,则OP=OA=.
②由①所求得O到弦AC的距离为,可知在劣弧AC上只有1个点到弦AC的距离为,而在优弧AC上有2个点到弦AC的距离为,故有3个.
3.直线和圆的位置关系:根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系,可知直线与圆有相离、相切、相交三种情况.在这三种情况中,直线与圆相切是重中之重,切线的判定或切线的性质在中考试题中占有重要的地位,备受命题者青睐.这类试题常以“说理+计算”的解答题形式出现.
例4(2009武汉)如图4,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC边于点D,E是边BC的中点,连接DE.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)连接OC交DE于点F,若OF=CF,求tan∠ACO的值.
【思路点拨】判定一条直线是否为圆的切线,方法主要有:在直线与圆的公共点不明确时,过圆心作该直线的垂线,只要说明其垂线段的长度与半径相等即可;在直线与圆的公共点已知时,只要连接圆心与该公共点,得到一条半径,证明直线垂直于该半径即可.对本题而言,很显然点D是直线DE与⊙O的公共点,因此连接OD就成解题的必经之路了.
证明:(1)连接OD、OE、BD.(如图5)
∵AB是⊙O的直径,∴∠CDB=∠ADB=90°.
∵E点是BC的中点,∴DE=CE=BE.
∵OD=OB,OE=OE,∴△ODE≌△OBE.
∴∠ODE=∠OBE=90°.∴直线DE是⊙O的切线.
(2)作OH⊥AC于点H.
由(1)知BD⊥AC,EC=EB.
∵OA=OB,∴OE∥AC且OE=AC.
∴∠CDF=∠OEF,∠DCF=∠EOF.
∵CF=OF,∴△DCF≌△EOF,∴DC=OE=AD,△ABD≌△CBD.
∴BA=BC,∴∠A=45°.
∵OH⊥AD,∴OH=AH=DH.
∴CH=3OH,tan∠ACO==.
4.圆和圆的位置关系:相比直线与圆的位置关系来说,圆与圆的位置关系的考查基本是以选择或填空题形式出现,主要考查两圆位置关系的判断、圆心距的计算等.
例5 (2009湖州) 已知⊙O1与⊙O2外切,它们的半径分别为2和3,则圆心距O1O2的长是().
A.O1O2=1B.O1O2=5C.15
【思路点拨】答案:B.本题是已知两圆的位置关系以及两圆的半径求两圆的圆心距,其实质就是要搞清“两圆的5种位置关系”、“两圆的半径”以及“两圆的圆心距”三者之间的对应关系,我们可以形象地通过数轴来理解(如下图).
5.弧长和扇形的面积以及圆锥问题的计算:利用弧长以及扇形的面积公式进行计算,也是中考经常考查的一个考点.圆锥的侧面展开图(扇形)中的相关元素与圆锥的相关元素之间的关系也是重要的考点.这类问题常在填空题中出现,另外,也常与实际生活中的建筑物相联系考查圆锥侧面积的计算问题,以简单解答题的形式出现.
例6(2009成都) 若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm,母线长是6cm,则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是().
A.40°B.80°C.120°D.150°
例7(2009东营)将直径为60cm的圆形铁皮,做成三个相同的圆锥容器的侧面(不浪费材料,不计接缝处的材料损耗),那么每个圆锥容器的底面半径为().
A.10cmB.30cm C.40cmD.300cm
【思路点拨】答案:C;A.圆锥可以看成是由直角三角形旋转得到的图形,圆锥的侧面展开图是扇形.要想解决上述两例,关键是要搞清圆锥与其侧面展开图(扇形)的相关元素之间的关系.设圆锥的母线长为l,底面圆半径为r,锥角为α,高为h,圆锥与它的旋转面、侧面展开图的各元素间的关系如下表:
6.与圆有关的综合应用:综观目前的中考试题,直接考查圆的试题多是基础问题,至多在中档题目中出现.但圆毕竟是初中学习中比较重要的内容,因此,很多中考试题的设计将圆作为载体,需要综合应用三角形、四边形、相似形、方程、函数等知识进行解题,这类问题常见于压轴题中.
例8(2009江苏)如图7,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左做匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向做匀速运动.设运动时间为t秒.
(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标.
(2)以点C为圆心、 t个单位长度为半径的圆,与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.
①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;
②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.
【思路点拨】仔细看清题意,不难发现,本题中的“圆”仅是一个载体,在圆的运动过程中综合点的坐标、函数及其图象、方程、不等式、相似形、等腰三角形、直角三角形、勾股定理等知识,几乎涵盖了初中数学的重要知识内容,涉及到分类讨论、数形结合、方程与不等式、特殊与一般、运动与变化、建模等重要的数学思想方法.仅对第(2)②题点拨如下:
方法一:运用分类思想.等腰三角形中蕴含分类的数学思想,利用分类思想,可迅速找到解题路径,明晰解题思路.
方法二:运用特殊化思想.在⊙C运动的过程中,圆心不断变化,圆的半径也在不断变化,但在变化的过程中,始终有DP=AB=t,因而可考虑点A、B、C运动到特殊位置的情况,找到突破点,轻松解答.
参考答案:t=,,4或5.
三、命题趋势分析与复习建议
建议同学们在复习时注意如下问题:
1.注重基础知识的复习,加强对相关性质的理解.课本中的垂径定理、弧、弦与圆心角的关系定理、圆周角与圆心角关系定理、切线的性质与判定、两圆的位置关系等内容都是圆中极基础的知识,中考试题多以选择、填空形式呈现.复习时抓住基本图形,由“形”联想相关性质定理,有助于提高解题水平.
2.注重运算能力的提高,加强对相关公式的理解.在中考题中,有关圆的繁琐复杂的逻辑证明日渐减少,而侧重于利用圆的性质、公式来计算线段、角、弧长、面积等等,这类题型重在考查同学们的计算能力.因此,同学们在复习时,要搞清每个公式的来龙去脉,以及它们之间的联系,同时,在提高运算能力上下功夫.
3.注重对问题的变式与探究,加强对课本例习题的理解.课本例题和习题无疑是创新型试题的源泉,在它们身上做文章犹如旧枝发新芽,让同学们在考试中有“似曾相识”的亲切感,因此,这类问题历来都受到中考命题专家的青睐.
例9国标苏科版教材九年级上册第130页:
如图8,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠CAD=∠ABC,判断直线AD与⊙O的位置关系,并说明理由.
这道题中的图形是大家非常熟悉的,其中弧AC所对的圆周角∠ABC的一边是⊙O的直径,2008年宿迁市中考试题中有类似的一道题,命题者改变其原来的特殊位置,构造同弧所对的另一圆周角,考查了从一般到特殊的转化思想.试题进一步将该圆周角一边的位置特殊化,使其成为直角的平分线,这样就可以通过构造含30°角的直角三角形而求出该弦的长.
(2008宿迁)如图9,⊙O的直径AB是4,过点B的直线MN是⊙O的切线,D、C是⊙O上的两点,连接AD、BD、CD和BC.
(1)求证:∠CBN=∠CDB;
(2)若DC是∠ADB的平分线,且∠DAB=15°,求DC的长.
【思路点拨】(1)要证∠CBN=∠CDB,需要证∠CBN
=∠CAB,而由∠CBN、∠CAB都是∠ABC的余角可得.(2)要求DC的长,可先构造以DC为边的直角三角形,过D作直径DE,连接EC,则得Rt△DEC.由DC平分∠ADB,OA=OD分别得到∠ADC=45°,∠ODA=15°,则∠ODC=30°,再解
Rt△DEC即可.
仿照上题,我们还可以将原题这样变化:将原来经过直角三角形的锐角顶点的直线改为经过直角顶点,仍然可以判定直线与圆相切.
如图10,AB是△ABC外接圆⊙O的直径,过点C作直线l,点D为直线l上的一动点,且∠ABC=∠ACD.
(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)过点D作DF⊥AB,垂足为H,交AC于点G.若AB=8,∠A=30°,则要使结论AG2=AH•AO成立,CD应为多长?试写出你的猜想,并说明理由.
【思路点拨】(1)欲证CD是⊙O的切线,既可以将本题的图形转化为例9中的特殊位置图形,也可以连接OC,利用直角三角形的性质证明OC⊥CD.(2)若要AG2=AH•AO成立,可以考虑如何让这3条线段所构成的两个三角形相似,由△AGH是直角三角形这一特殊性,可以知道△AOG必须是直角三角形,即OG⊥AC,再由垂径定理得点G为弦AC的中点,由题意易得△DCG是等边三角形,从而可以确定CD的长.
当然,对题目的改变,不仅仅是改变图形的位置,还可以交换题目的条件和结论,或者适当增减条件.
