活用数学化归思想,提升立几解题能力——以2022年浙江省数学高考第19题为例
时间：2023-02-28 20:40:05 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
张林华
(嘉兴市第四高级中学，浙江 嘉兴 314000)
2022年6月，笔者有幸参加了数学学科的高考阅卷工作，批阅立体几何大题.结合先前的思考，笔者对于高中立体几何题如何运用化归思想，降低解题难度，让学生能够拾级而上顺利解题，提升学生数学学习的信心，有了自己的一些体会.
以下是2022年6月浙江省数学高考卷中的立体几何大题，放在第19题，也就是五个大题中的第二题的位置.该题对空间想象力不足的学生来说是个难点.
题目如图1，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥CD，DC∥EF，AB=5，DC=3，EF=1，∠BAD=∠CDE=60°，二面角F-CD-B的平面角为60°，设M，N分别为AE，BC的中点.
图1
图1
1)证明：FN⊥AD；
2)求直线BM与平面ADE所成角的正弦值.
(2022年浙江省数学高考试题第19题)
根据认知心理学理论，认知负荷是指一个人的工作记忆可以处理的信息总量.当人的工作记忆接收到的信息超出了自如控制的范围时，认知超载就产生了，将会直接导致挫败感并形成最终的决策.认知超载也会造成情绪上的波动，从而产生一种内心上的焦虑，导致记忆效果变差，解决问题的能力降低.
如果能够减少题目中立体图形的直线或平面等元素，势必会减少认知超载现象的发生.基于这种设想，笔者经常要求学生：如果在解题时有困难，可以再重新画一个图，将暂时不需要的线不放入新图，摒弃无用条件，突出必用条件，结合题意再将其他线段渐次放入所画图形，从而达到降低解题难度的目的.在本题中，线段BM在第1)小题中根本没有用到，因此，学生画新图时可以先不连BM.
立体几何主要涉及线线、线面、面面的平行与垂直关系、求线面角和二面角等.在解题时，这些关系中的线面垂直关系往往处于“核心地位”，经常找图形中的线面垂直关系，思索问题的重点与核心，可以减少无关干扰，减轻学生的思维负荷.本题中有CD⊥面FCB，NF⊥面ABCD等线面垂直关系，这些关系是解题的关键所在.
空间问题平面化(降维)是处理立体几何问题的一种重要的思想方法.所谓空间问题平面化，就是将空间的点、线、面的关系放到同一平面上进行研究.常用的平面化方法有“截、展、移、转、射”等.以“截”为例，就是在空间图形能反映各元素的关系的适当位置做一个截面，或者取立体图形中的某个面，画出它的平面图形，在这个平面图形内集中研究各元素间的关系，使得空间问题转化为平面问题.
图3 图4
高中数学知识中代数占比明显要高于几何，尤其是立体几何的内容更少，用得多的代数计算自然成为学生解决数学问题的拿手工具，许多立体几何问题可以转化为代数问题解决.通过建立空间直角坐标系，立体几何问题在很大程度上可转化为代数问题，这就给学生提供了代数方法解决几何问题的通路，尤其是对于那些空间想象能力不强的学生，用建立空间直角坐标系解决立体几何问题几乎成了“唯一”的办法.
图5 图6
本题还可采用“暴力建系法”求解，这就不需要指明∠FCB为二面角F-DC-B的平面角.具体解题过程如下：
向量是既有大小、又有方向的量.向量具有几何方面的特性——方向，又具有代数方面的特性——大小.这就意味着向量就是一个代数与几何完美结合的典范，具有很强的解析性.它能提供传统几何关注的长度、角度、面积、体积等数值量所不能提供的额外信息，是一把解题利器.
上述证法2和证法3的坐标法，本质上是一种向量方法.本题还可以用空间向量基本定理设基底进行解决，得到如下证法.
=0+6+0-6=0.
于是
NF⊥AD.
本题还可以利用三棱锥模型中的二级结论“对角线向量定理”证明.
许多立体几何问题较为抽象，不易理解，给学生学习造成了一些困扰.立体模型的构建将抽象的立体图形变得更加具体形象，构成常见的“标准图形”，从而拓展学生的空间想象，可以提高解题能力，收到事半功倍的效果.模型构建的本质是根据题意进行数学建模，在解题方法上加以创新.常见的立体几何模型(“标准图形”)有正方体模型、长方体模型、棱锥模型、圆锥模型、球模型等.有些图形比较繁杂，解题时可以从中抽取出熟悉的几何图形模型，在厘清这个“标准图形”的基础上解决复杂图形，或者有些图形会有“缺损”，需要先补成常见几何模型再进行解题.
本题可以将立体图形看成是正三棱柱的一部分，“补形”成学生熟知的正三棱柱(如图7)，从而提升学生解决问题的信心，还可以通过“折纸”的方式来厘清其中的线面关系，就是将这个立体图形看成由CD为公共边的两个直角梯形翻折得到.
图7
对于第2)小题，还可以通过找出适合的三棱锥(模型)，利用三棱锥的“体积相等”进行解题.
多视角就是从多种角度出发并贯穿始终的处理方式.解题时可以从条件出发“由因导果”，也可以从结论出发“执果索因”，还可以二者同时使用进行“夹逼”.条件或结论还可以从不同的角度去理解，进行发散性思考.本题要证明线线垂直，除了常规的“通过证明NF⊥面ABCD，从而证明NF⊥AD”外，还有学生“感知”到了AD垂直于FN所在的平面，也就是“通过证明AD⊥面NFD”来证明线线垂直关系，参看下面的证法.
∠ADN=90°，AD⊥DN.
又在△ADF中，AF2=AD2+FD2，得
AD⊥DF，
从而
AD⊥面NFD，
即
AD⊥NF.
对于第2)小题，还可以观察猜测：面ADE⊥面ABFE，得出∠EMB(或它的补角)为所求的线面角.此时，需要用勾股定理证明DM⊥MB，从而证明DM⊥面ABFE，进而得出面ADE⊥面ABFE.
总之，以上6种解题策略都是立体几何化归思想的具体表现.这些解题策略并不都是解决该问题的最佳化归途径，具体问题需要具体分析，灵活运用，以降低解题的难度，找到针对性的解决办法.
以上策略不仅适用于有关立体几何题，对于解析几何、函数图像、向量图形等问题，当题目中涉及的直线、曲线、几何关系等条件比较多、关系比较复杂，或者问题比较抽象时，都可以用以上6种方法进行尝试.
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