不完备市场上基于虚拟证券的鞅测度
时间：2023-01-20 16:20:11 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
朱 捷，王生喜，王 杰
(1.广东科技学院，广东 东莞，523083；
2. 厦门大学 嘉庚学院, 福建 漳州，363105)
微观金融学的鞅方法(martingale approach)始于Harrison J·M and Kreps D·M 1979年的论文[1].其首次揭示了鞅过程与无套利金融市场之间的本质联系，在很一般的条件下给出了无套利条件的鞅刻画，为未定权益套期保值(对冲)策略的研究开辟了新的路径.从金融理论及实践的发展趋势来看，该方法已成为研究现代微观金融问题的标准工具.
1981年，Harrison J·M and Pliska S·R[2]在文献[1]工作的基础上，进一步揭示了无套利概念的数学本质，完成了资本资产定价完整的数学描述，总结出资本资产定价的两个基本定理.此后Delbaen F and Schachermayer W[13](1995)、Delbaen F,Granditst P,Rheinlnder T[14](2002)、A·H·施利亚耶夫[19](2013)等学者将资本资产定价基本定理推广到半鞅模型.
资本资产定价基本定理表明，在不完备的无套利金融市场上，等价鞅测度存在但不唯一.为了给出该市场中资产的合理定价，需要按照一定的最优性准则从等价鞅测度族中选择合适的鞅测度.众多学者对不同鞅测度做过系统的研究 .Fllmer H，Schweizer M[3](1991)研究了极小鞅测度(minimal martingale measure);Schweizer M[4](1995)研究了方差最优鞅测度 (variance-optimal martingale measure) ;Csiszar I[5](1975)引入了极小熵鞅测度;Frittelli[6](2000)研究了极小熵鞅测度(minimal entropy martingale measure) 的存在性；
Platen E and Rebolledo R[7](1996)引入了逆相对熵鞅测度 (minimal reverse relative entropy martingale measure) ;Schweizer[8](1999)讨论了连续半鞅过程极小鞅测度和逆相对熵鞅测度的一致性,等等.魏正红[16](2003)、闫海峰[18](2012)在半鞅框架下系统研究了最优鞅测度及其对冲策略.主流文献中，基本的最优鞅测度有如下四种：极小鞅测度、方差最优鞅测度、极小熵鞅测度和极小逆相对熵鞅测度.
本文基于Shreve S E[11]构建的多维扩散过程所驱动的不完备市场，引入虚拟证券，研究了不同准则下的最优鞅测度问题.提出了均方误差次优准则及相对均方差次优准则，并在上述两个准则下，得到了鞅测度的显式表达，指出上述鞅测度在二阶矩意义上与极小鞅测度、相对熵极小鞅测度以及方差最优鞅测度无差异.
设(Ω，F，P)为完备概率空间.在多维扩散模型中，市场(B，S)由一种现金债券{Bt}0≤t≤τ和价格为{S1(t),S2(t),…,Sm(t)}0≤t≤τ的m个不同的风险证券组成，它们满足下列随机微分方程组[16]：
dBt=rBtdt
(1)
i=1,2,…,m
(2)
其中：{Wj(t)}0≤t≤τ,j=1,…,n是n个相互独立的标准P-Brown运动，{Ft}0≤t≤τ为由{Wj(t)}0≤t≤τ,j=1,…,n生成的σ-域流(滤子).r为现金债券的利率(常数)，漂移率{μ(t)}0≤t≤τ及波动率{σij(t)}0≤t≤τ均为{Ft}0≤t≤τ-可料过程(1≤i≤m,1≤j≤n)，并且满足条件
t>0,i=1,…,m
由多因子Girsanov定理，如果{Ft}0≤t≤τ-可料过程{θi(t)}0≤t≤τ,i=1,…,n,满足条件
(3)
(4)
(5)
其中：θ(t)=(θ1(t),θ2(t),…,θn(t))T称为市场(B,S)的风险价值向量.
进一步，如果模型(2)满足如下的多因子Novikov条件：
记W(t)=(W1(t),W2(t),…,Wn(t))T，dW(t)=(dW1(t),dW2(t),…,dWn(t))T，波动率矩阵∑(t)=(σij(t))m×n，以及μ(t)=(μ1(t),…,μn(t))T，θ(t)=(θ1(t),…,θn(t))T，I=(1,…,1)T∈Rm，则式(3)(取t=τ)与式(5)分别化为如下的向量形式：
(6)
∑(t)θ(t)=μ(t)-rI
(7)
由此，资产定价基本定理可以表述为:市场(B,S)无套利机会⟺方程(7)的解存在，并且(i)(B,S)为完备市场⟺方程(7)的解存在且唯一；
(ii)(B,S)为不完备的无套利市场⟺方程(7)的解存在但不唯一.
当m=n(即市场(B,S)上风险源的个数与风险资产的个数相同)，矩阵∑(t)非奇异且满足Novikov条件时，方程(7)的解θ(t)=∑-1(t)(μ(t)-rI)通过Radon-Nikodym导数(6)确定了唯一的等价鞅测度Q，即(B,S)是完备市场.
当m θA(t)=(θ1(t),…,θm(t))T， θB(t)=(θm+1(t),…,θn(t))T. 容易看出，方程(7)具有如下形式的通解： ηn-m(t))T.由于向量{η1,η2,…,ηn-m}是方程∑(t)θ(t)=0的基础解系，方程(7)解的向量形式为 (8) 其中：c=(c1,c2,…,cn-m)T∈Rn-m. 综上所述，当m 为简化运算，本节假设所有的μi,σij均为常数. dBt=rBtdt i=1,2,…,m, i=m+1,m+2,…,n (9) 其中：I1=(1,1,…,1)T∈Rm,I2=(1,1,…,1)T∈Rn-m. (10) (11) 式(11)是一个最小均方误差准则下求解最优鞅测度的问题.直接求解式(11)仍旧是一件棘手的工作，我们需要对其再做一次放松处理.容易得到 于是求解式(11)可转换化为如下等价问题： (12) 由式(11)、式(12)的放松问题为 (13) 其中：Θ={θ:∑θ=μ-rI,R(∑)=m}.问题(13)的等价形式如下： (14) 本文称式(14)为均方误差次优准则(Mean square error suboptimal criterion). 定理3.1(i)问题(14)存在唯一的最优解c*=(2h)-1b，其中： (ii) 在均方误差次优准则下，市场(B,S)的等价鞅测度Q*由如下的Radon-Nikodym导数所确定： n-m.由式(14)可以直接推导出 (15) 从而函数h(c)的梯度为h(c)=(h1,h2,…,hn-m)T，h(c)的Hessian矩阵 2h(c)=(hij)n-m= 注意到{η1,η2,…,hn-m}是线性无关的向量组，令 则有ΛT2h(c)Λ=2Π 于是矩阵Π与2h(c)合同.由Cauchy不等式得到得知，Π是某个随机向量的相关矩阵，从而矩阵2h(c)=(hij)n-m在c=(c1,c2,…,cn-m)T∈En-m上正定.换言之，h(c)在c=(c1,c2,…,cn-m)T∈Rn-m上是严格凸函数.由凸规划理论，式(14)存在唯一的最优解c*，并且c*由方程组h(c)=0给出. (2h)c=b c*=(2h)-1b (ii)结论显然. 其中：ζ∈Ψ. 由于 相应的Lipschitz条件： |exp(‖θ‖2+4θTθε+3‖θε‖2|τ-exp[ln2+(‖θε‖2-θTθε)τ] ≤L|‖θ‖2+5θTθε+2‖θε‖2)τ-ln2| 从而得到相对均方差次优准则(Relative mean variance suboptimal criterion)： (16) 定理3.2(i)问题(16)存在唯一的最优解 c**=7(2h)-1b (ii)在均方差次优准则下，市场(S，B)的等价鞅测度由如下Radon-Nikodym导数所确定： 定理3.3表明，我们能够概括出按某种“准则”产生最优鞅测度的一般方法. 定理3.3 (i)在本文有关连续扩散模型的框架下，产生极小鞅测度、相对熵极小鞅测度、方差最优鞅测度、均方误差次优准则以及相对均方差次优准则下的鞅测度，其相应准则(目标函数)所生成的Hessian矩阵及最优方程具有如下统一形式： b)c*(N)=N(2h)-1b 1)对于极小鞅测度、相对熵极小的鞅测度以及方差极小鞅测度准则，N=2 2)对于均方误差次优准则，N=1 3)对于相对均方差次优准则，N=7 (iii)在二阶矩意义下，上述鞅测度不可比较(无差异).
3.1 均方误差次优准则
3.2 相对均方差次优准则
