探析数列问题中数学核心素养的考查*——以2022年高考试题为例
时间：2022-12-09 09:55:04 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
徐倪明 陈建祥
(扬州大学数学科学学院,225002) (上海市金汇高级中学,201103)
《普通高中数学课程标准》2020年修订版明确提出了培养学生数学核心素养的要求．所谓数学核心素养在某种层面上可以理解为学生学习数学应达成的、具有特定意义的综合能力，这种能力理所当然地应该在高考中得到体现.本文以2020年各地高考试题中的数列问题为例，探析数学核心素养的考查.综合各地高考试题中的数列问题考查情况统计如表1.
由表1可知,各类型高考试题对于数列的考查多集中于解答题,分值比重相当,基本稳定在10-15分值之间；
考查的知识重点为数列概念、运算、函数性质等方面；
在数学文化方面的渗透较前两年有明显下降,即减少了立足数学文化,以现实背景考查学生数学建模素养的命题方式．全国统一命题卷以容易题与中档题为主,主要考查学生应用数列基本知识分析解决问题的能力；
地方自主命题试卷中考查位置更加靠后且难度更大,包含混合知识点的应用以及新定义题的考查,综合性相对很高,也对学生数列知识的掌握提出更高的要求．
表1 2022年高考数列问题考查情况统计
1.立足函数性质 考查数学抽象
数学抽象是数学的基本思想,是形成数学理性思维的重要基础．高中阶段的数学学习内容大都比较抽象,学生如果缺乏这方面的核心素养,那么日常的学习就会存在比较大的困难．因此，要加强对学生数学抽象素养的培养,让学生能够有效地分析数学问题,并准确地用数学语言表征问题,进而加强学生对知识的掌握．数列本质上是关于n的“离散的函数”,高考数列题中经常以函数性质为依托,考查数列的单调性、周期性、最值、前n项和的最值、通项或前n项和的符号等．
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值．
例2(新高考Ⅱ卷第17题)已知{an}为等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.
(1)证明:a1=b1;
(2)求集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中元素的个数．
评析本题第(2)问是对综合知识和能力的考查,可以集合为背景,结合等差、等比数列的性质,并利用函数知识解决问题．由于d=2b1=2a1,可将集合内的运算式改写为b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1，最终转化为指数函数的函数值问题,即2k-1=2m.本题虽未直接考查数列的函数性质,但需要具有一定的数学抽象能力,将集合中的数列问题转化为函数问题进行求解．
2.关注计算能力 考查数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养．在新高考背景下,对于数列相关知识考查的难度逐渐趋于稳定,数列的运算则是较为常见的考查方向．数列运算常考的知识点为等差(比)数列的基本量求解以及重要的数列求和方法,如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等,这些方法本身并不难,但学生在实际解题过程中却极易出现错误．
例3(全国乙卷(文)第1题)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=( ).
(A)14 (B)12 (C)6 (D)3
例4(全国乙卷(文)第13题)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=______.
评析上述两题均出自全国乙卷,属于基础题,且命题思路均立足于等差(比)数列基本量的考查,学生需熟练掌握数列基本公式,运用等差(比)的通项公式与前n项和公式,并利用“知三求二”的思想列方程求解．
(1)求{an}的通项公式;
3.依托递推关系 考查逻辑推理
逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,是数学严谨性的基本保证．数列作为高中内容的重点和难点,在高考中尤为注重学生的逻辑推理素养的考查.学生如果缺乏推理能力,在解决问题时就会思维混乱,迷失方向.围绕数列递推式的命题是考查学生逻辑推理的载体,要求学生对已经给出的递推关系式或者在实际问题中寻找建立的递推关系式,能够恰当地进行恒等变形,将数列“项与和”的关系转化为“项与项”的关系，运用累加或累乘的方法,找到首项与末项之间的直接关系,构造等差或等比数列，进而解决问题．
例6题同例1.
例7题同例5.
(A)b1 (C)b6 本题着重考查学生的逻辑推理能力，且需要学生有一定的耐心.学生只有兼具推理能力和耐心，才不会一头雾水，思维混乱. 加强学生的数学学科核心素养的培养，在数学教学中尤为重要.高中阶段的数学知识相较于前学段难度明显提升,学生的学习困难也大幅增加，这就要求在日常教学中除了数学知识的讲授外,更要注重对数学核心素养的培养,不断提高学生的数学关键能力．数列作为高中数学的重难点内容,具有很强的逻辑性,在数列的教学中应不断渗透核心素养,强化学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理等,才能帮助其更好地掌握这部分知识． 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的“离散函数”.新高考改革下数列的考查要求教师应在数列概念的生成中揭示其函数本质,而不是割裂二者间的联系,引导学生用函数的视角与思想看待数列问题,从而巩固学生的数学抽象素养． 新高考改革下的数列考查难度逐渐趋于平稳,以中档题为主.对于学生运算能力的考查更多立足于对等差(比)数列基本量a1,d(q),an,n,Sn的求解,以及通过运算生成新数列并利用多种求和方法求解前n项和.应在日常教学中帮助学生着眼于理解数列运算对象,掌握数列运算法则,探究数列运算思路,选择数列运算方法,设计数列运算程序,最终求得数列运算结果. 从今年高考的数列考查不难发现,逻辑推理占据着主导地位,数列问题对学生逻辑推理能力的要求也在逐渐提高,而“递推”又是解决数列问题的根本思路与方法.教师帮助学生攻克“递推式”是数列深化教学中的重点.注重让学生参与“递推式”的推导过程,体会推导过程中要用哪些命题?如何利用已知条件?如何进行差异分析?如何组织过程语言?如何表征问题结果?让学生学会分析,进一步提升逻辑推理能力,同时加深对数列知识的理解． 新高考改革以来也出现了以现实生活为背景考查数列的命题方式,要求学生能够运用已知数学知识,对实际问题进行“数学化”,构建数列模型,将实际问题转化为数学问题．不难发现，数学抽象和数学建模有着密不可分的联系,数学抽象是数学建模的先导,数学建模是数学抽象的深化,所以数学建模重要性不容忽视．虽然今年的考查中未曾出现大量具有现实背景的数列问题,但是随着数学建模在高中数学的地位越来越重要,需在教学中多组织学生开展数学建模活动,让学生能够在复杂问题中提炼出数学信息并建立数学模型,解决实际问题,促使学生在发现、分析、解决问题过程中,感受数学建模的思想和方法．
1.深化数列函数本质 巩固数学抽象素养
2.强化基础运算能力 夯实数学运算素养
3.渗透数学思维训练 提升逻辑推理素养
4.结合实际问题解决 关注数学建模素养
