从一道习题谈发散思维能力的培养

时间：2019-04-30 03:18:31　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　著名数学家波利亚指出：“掌握数学就是善于解题。”高考数学命题的指导思想是“在考查基础知识的同时，注重考查能力”，其本质是考查学生的思想能力。因此，在数学教学中，教师应适时地引导学生从不同的角度、利用不同的方法、思想方式去观察、联想、分析，根据问题的特定条件探索出一系列的解题思路，有意识地进行一题多解的训练，激发学生学习的强烈欲望，不断优化学生的思想品质，发展学生的创新思维能力，培养学生的发散思维能力。这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
　　《普通高中课程标准实验教科书》数学必修4第138页有这样一道题：
　　观察以下各等式：
　　sin2300+cos2600+sin300cos600= ①
　　sin2200+cos2500+sin200cos500= ②
　　sin2150+cos2450+sin150cos450= ③
　　分析上述各式的共同点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明。
　　教师在引导学生寻找规律之前，需对以上三式的正确性加以解释，借此可以引导学生从不同的方法、角度进行思考论证。
　　对于①和③，学生可以将sin300=cos600=，sin150=,cos450=代入进行验证，对于②，大部分学生可能不知该如何证明，需要在教师的帮助下来完成。此时，教师可以有意识地引导学生，从不同的角度、运用不同的方法进行一题多解的训练,诱发学生发散思维，以达到培养发散思维能力的目的。
　　〖分析一〗在进行三角恒等变形时，一般原则是“遇平方降幂，遇积化和（差），遇和（差）化积”。在教师的引导下，不仅教会了学生一种解题思路和方法，同时也激活了学生的思维，培养了学生的思维能力。
　　解：原式=（1-cos400）+（1+cos1000）+（sin700-sin300）
　　=1+（cos1000-cos400）+sin700-
　　=-sin700sin300+sin700
　　= 。
　　〖分析二〗在三角变形中，教师要特别注意引导学生挖掘角之间的关系，注意到500=200+300，而300的正、余弦是我们所熟知的。这样，问题便可迎刃而解，学生的思维再次被点燃，思维能力得到了提升。
　　解：原式=sin2200+cos2（200+300）+sin200cos（200+300）
　　=sin2200+cos（200+300）［cos（200+300）+sin200］
　　=sin2200+（cos200-sin200）（cos200+sin200）
　　=（sin2200+cos2200）
　　=。
　　评析：在此解法的基础上，教师可启迪学生尝试将200变为500-300，不仅活跃了学生思维，提高了学生的思维能力，而且使问题顺利获解。
　　〖分析三〗学生的信息通过迁移便会产生灵感，而迁移的主要手段是联想与类比。因此，教师要不失时机地启发学生思维，引导学生联想，教会学生迁移。通过教师的引导，学生的联想，联想到“sin2α+cos2α=1，cos2α-sin2α=cos2α”，就会有如下巧妙的解法。
　　解：设a=sin2200+cos2500+sin200cos500，b=cos2200+sin2500
　　+cos200sin500，则a+b=2+sin700，a-b=cos1000-cos400-sin300=
　　-sin700-，∴2a=2-=，即a=。
　　〖分析四〗在解决三角问题时，教师要注意引导学生对题设条件给出的数量关系进行观察、分析。恰当地构想，构造出与题目有关的图形、方程或对偶式等，可使学生把原有知识和方法迅速迁移，灵活变通，进而使学生的思维从求异、发散向创新推进，对学生发散思维能力的形成产生促进作用。
　　解：原式 =sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200。
　　∵200+400+1200=1800，∴可构造一个三角形使其三内角分别为200、400、1200，其外接圆直径为1，并设这三个角的对边分别为a、b、c，则由正、余弦定理得a2+b2-2abcos1200=c2，即sin2200+
　　sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200
　　∴sin2200+cos2500+sin200cos500=
　　〖分析五〗变通，是发散思维的显著标志。教师要尝试引导学生对问题进行组合、分解，诱导学生离开原有思维轨道，从多方面思考问题，进行思维变通。教师帮助学生接通与已有知识和解题经验的联系，使学生作出转换、假设、化归、逆反等变通，不仅使学生的思维能力得到训练，而且产生了解决问题的奇妙设想。
　　解：设sin200=a+b,cos500=a-b, 则a=（sin200+sin400）=cos100，b=（sin200-sin400）=-sin100,
　　∴原式=（a+b）2+（a-b）2+（a+b）（a-b）
　　=3a2+b2=3（cos100）2+（-sin100）2
　　=（cos2100+sin2100）
　　=。
　　评析：完成此解法之后，教师可向学生提问，如果设sin200=a-b,cos400=a+b，问题能否解决？以此为契机，学生的潜能被挖掘，思维被激活，能力被提升。
　　一般规律的等式：sin2α+cos2（300+α）+sinαcos（300+α）= ④
　　通过以上讲解，学生对④式的证明可以说游刃有余，同时激发了学生的创新意识，发展了学生的创造性思维，培养了学生的发散思维能力。
　　当然，发散思维能力的培养绝非教师一味讲解，学生机械接收，而是重在教师的引导，给学生思维空间，启发学生思考，充分挖掘学生潜能，让学生自己探知、类比。倘若教师能经常引导学生进行一题多解的训练，从不同的角度、层次，顺势开发，逆向深入，采用探索、转化和变换、迁移和联想、组合和分解等方法，定能开启学生心扉，激发学生潜能，活跃学生思维，培养出更多的发散型思维人才。
　　（拉萨市第二高级中学）

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