【三角形内外角关系的拓展与证明】八年级三角形外角和拓展题

时间：2019-04-09 03:27:47　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　结论：三角形的两个内角的角平分线所成的钝角=90°+12× 第三个角．　　上面的结论是三角形两内角的角平分线所形成的钝角与三角形第三个内角的关系.由此大家不难通过联想，也许还会提出下面的问题：三角形的两个外角的角平分线所形成的锐角与第三个内角有什么关系呢？三角形的一个外角与不是由同一顶点出发的一个内角的平分线所形成的锐角与三角形的第三个角有什么关系呢？等等.下面我们分别予以探索与证明．
　　已知：如图1，在△ABC中，∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线AD、BE、CF相交于点O.求证：∠BOC=90°+12×∠BAC，∠AOC=90°+12×∠ABC，∠AOB=90°+12×∠ACB．
　　证明：因为BE、CF平分∠ABC、∠ACB，
　　所以∠1=12∠ABC，∠2=12∠ACB，
　　因为∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠OEC=∠1+∠BAC，
　　所以∠BOC=∠2+∠OEC=∠2+∠1+∠BAC=12（∠ABC+∠ACB）
　　+∠BAC=12（180°-∠BAC）+∠BAC=90°+12∠BAC．
　　同理可证：∠AOC=90°+12∠ABC，∠AOC=90°+12∠ACB．
　　拓展结论1：三角形的两个外角的角平分线所成的锐角=90°-12×第三个角．
　　上述结论的证明过程请同学们仿上完成．
　　
　　图1 图2应用举例:已知如图2，在△ABC中，∠EBC、∠FCB为△ABC的两个外角，BD、CD为∠EBC、∠FCB的角平分线，若∠A=80°，则∠BDC= .（答案：50°）
　　拓展结论2：三角形的一个内角的角平分线与三角形的另一个外角的角平分线所成的锐角=12×第三个角．
　　
　　图3已知：如图3，在△ABC中∠ABC的角平分线BD与∠ACE的角平分线CD相交于一点D.求证：∠BDC=12∠A．
　　证法1：设∠ACD=x，根据三角形内角和定理的推论2，得∠DBC=∠DBA=x-∠BDC．
　　因为∠ACE=∠A+∠ABC，
　　所以2x=∠A+2∠DBC=∠A+2（x-∠BDC），
　　所以∠A=2∠BDC，所以∠BDC=12∠A．
　　证法2：过点C作∠ACB的平分线CF交BD于点O．
　　因为BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，交点为O.则据上述结论易知
　　∠BOC=90°+12∠A. ①
　　又因为CD平分∠ACE，CF平分∠ACB，则根据互为邻补角的角平分线相互垂直可知∠OCD=90°.因为∠BOC是△ODC的外角，
　　所以∠BOC=90°+∠BDC. ②
　　由①②得∠BDC=12∠A．
　　
　　图4上面讨论的是角的平分问题，如果涉及三等分角结论又将如何呢？下面我们一起来探索一下．
　　已知：如图4所示，BD、BE与CD、CE分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，那么∠BDC、∠BEC与∠A之间有什么关系？简解：延长BD交AC于F．
　　因为BD、BE与CD、CE分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，
　　所以∠BDC=∠ACD+∠ABF+∠A=23（∠ACB+∠ABC）+∠A=23×180°+13∠A．
　　同理可得：∠BEC=13∠ACC+13∠ABC+∠A=13×180°+23∠A．
　　如果大家有兴趣的话不妨探讨一下四等分角，…，n等分角有没有规律可寻呢？也许通过探索，你会有重大发现呢!

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