平行四边形判定的拓广探索|平行四边形的判定

时间：2019-02-06 03:25:50　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　　　平行四边形具有以下性质：1．两组对边分别平行；2．两组对边分别相等；3．两组对角分别相等；4．相邻两角互补；5．两条对角线互相平分．那么当四边形具有什么性质时是平行四边形呢?下面从对边、对角和对角线三个方面将四边形的条件划分为8个，并讨论当满足其中任意两个条件时，四边形是否是平行四边形．
　　如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．给定下列8个论断：
　　(1)AB=CD；(2)AD=BC；(3)AB∥CD；(4)AD∥BC；(5)∠1=∠2；(6)∠3=∠4；(7)OA=OC；(8)OB=OD．
　　1．当以(1)AB=CD；(2)AD=BC为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
　　
　　2．当以(1)AB=CD； (3)AB∥CD为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．当选取(2)、(4)作条件时，情形也是如此．
　　3．当以(1)AB=CD； (4)AD∥BC为条件时，不能判定四边形ABCD是平行四边形．如图2中的等腰梯形，满足条件(1)和(4)，但因AD≠BC，所以它不是平行四边形．即：
　　一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形．
　　当选取(2)、(3)作条件时，情形也是如此．
　　
　　4．当以(1)AB=CD；(5)∠1=∠2为条件时，不能判定四边形ABCD是平行四边形．如图3，△ABE中，AB=AE，则∠B=∠E．在底边BE上取一点C(不与BE的中点重合)，作出点E关于线段AC的垂直平分线的对称点D，则四边形ABCD满足条件AB=CD，∠B=∠D，但由于BC≠CE=AD，所以四边形ABCD不是平行四边形．即：
　　一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．
　　当分别选取(1)、(6)；(2)、(5)；(2)、(6)作条件时，情形也是如此．
　　
　　5．当以(1)AB=CD；(7)OA=OC为条件时，不能判定四边形ABCD是平行四边形．如图4， △CED中，CE=CD，在DE的延长线上任取一点O，将△OCE绕点O旋转180°得△OAB．则四边形ABCD满足以上条件(1)、(7)，但由于OB=OE≠OD，所以四边形ABCD不是平行四边形．即：
　　一组对边相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形．
　　当分别选取(1)、(8)；(2)、(7)；(2)、(8)作条件时，情形也是如此．
　　6．当以(3)AB∥CD；(4)AD∥BC为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定3两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
　　7．当以(3)AB∥CD；(5)∠1=∠2为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定4一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
　　当分别选取(3)、(6)；(4)、(5)；(4)、(6)为条件时，情形也是如此．
　　8．当以(3)AB∥CD； (7)OA=OC为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定5一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形．
　　当分别选取(3)、(8)；(4)、(7)；(4)、(8)为条件时，情形也是如此．
　　9．当以(5)∠1=∠2；(6)∠3=∠4为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定6两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
　　
　　10．当以(5)∠1=∠2； (7)OA=OC为条件时，不能判定四边形ABCD是平行四边形．如图5，四边形ABCD中，当对角线BD垂直平分AC时(OB≠OD)，可知OA=OC，∠DAB=∠DCB，但由于OB≠OD，所以四边形ABCD不是平行四边形．即：
　　一组对角相等，且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形．
　　当分别选取(5)、(8)；(6)、(7)；(6)、(8)为条件时，情形也是如此．
　　11．当以(7)OA=OC；(8)OB=OD为条件时，四边形ABCD是平行四边形．
　　判定7对角线互相平分的四边形是平行四边形．
　　从8个论断中任取两个，共有28种情形，上面将这28种情形分成了11类，找出了判定四边形是平行四边形的7种方法，这里的判定4、判定5、判定6在教科书中没有作为判定定理，请同学们给出证明过程．这里的11类中有4类不能判定四边形是平行四边形，同学们应记住各种情形所构造的反例．

平行四边形判定的拓广探索|平行四边形的判定

最新文章

热门文章