基于立体几何的高考试题交汇题型研究_高考立体几何题型归纳

时间：2019-04-02 03:12:29　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　“在知识网络交汇点设计试题”，是近年来高考数学命题改革的重要理念和方向，高考复习的过程中，针对立体几何，也要有意识的把握知识的纵横联系和综合应用，突破各章节的界限，能够融会贯通，应用自如，形成有序的网络化知识体系，以开拓视野，形成能力，提高数学素养.近年来各省市的高考数学试题中，立体几何与其他主干知识之间的交汇越来越多，题型分布的也不再局限于选择、填空题.
　　1 立体几何与函数的交汇例1 （2008年高考北京卷·理8）如图，动点在正方体
　　P
　　yx的表达式，从而可知图象应为两条折线段.再如，1993年全国试题(理22)建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为元.借助函数进行求解，体现了函数与立体几何之间的相互渗透，丰富了数学学科的内涵.这道题目后来还作为习题入选了人教版课标课程教材高中数学必修1，凸显了它的价值.例2 （2010年高考上海卷·文20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.
　　(1)当圆柱底面半径取何值时，S取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）；
　　(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.
　　评析本题是2010年各省市高考数学试卷中关于立体几何考查的一道亮点题目，主要考查空间几何体、三视图、二次函数的知识，空间想象能力和运算求解能力.在立体几何与函数交汇的题目中，应用问题的考查是很重要的一个特点.注重依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.
　　2 立体几何与解析几何的交汇
　　例3 （2008年高考浙江卷·理10）如图，AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点在平面
　　α所截出的椭圆.这是一道设计非常巧妙地题目，知识点的交汇显得非常自然，对其数学本质的考查非常到位.
　　例4 （2004年高考北京卷·理4）如图，在正方体
　　A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
　　评析本题以空间几何体的点线距为载体，考查圆锥曲线的概念.将到直线与直线的距离相等转化为到点与直线的距离相等，可知动点的轨迹是抛物线. CBC
　　P
　　无独有偶，在2010年高考重庆卷理科第10题：到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
　　A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线
　　评析在解题过程中，如果能以正方体模型为载
　　xya=+，
　　问题就迎刃而解.
　　虽然在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的.实际上，从更广义的角度看，平面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何可以看成是由平面几何升维而产生；另一方面，从它们之间的联系看，可以把解析几何中的直线看做是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是平面截圆锥面所产生的截线；再从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹正因为它们之间存在如此紧密的联系，经常出现彼此交汇的题目.因此，可以认为，在平面几何与立体几何的交汇之处，新知识生长的土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广.
　　例5 （2008年高考重庆卷·文16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点 A种不同的安排方法，再安排上底面的三个顶点，共有种不同的安排方法.再由分步计数原理可知，共有
　　种不同的安排方法.这种类型的题目还有涂色问题等等，在以前的高考试题中，更是常见.近年来，又出现了新的特点，在考查排列、组合的基本方法之时，同时加上分类讨论思想、概率问题的考查，综合性越来越强.
　　4 立体几何与概率的交汇
　　例6 （2009年高考安徽卷·理10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，
　　乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于
　　评析如图，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，共有种不同取法，如果把这些中点连结起来，会得到，CF，
　　AB，B B上运动且满足
　　评析本题以“几何”为纽带，突出中学数学中平面几何、立体几何、解析几何、几何概型及解三角形等知识之间的交叉和渗透，又结合不等式的应用.能够较好的检验学生是否具备有序的网络化的知识结构体系，在规避试题的“模式化”上做了有益的探索.作为2010年各省市立体几何题目中的亮点，同上海市的题目一样，把原来只在选择或填空中才出现的交汇题型，第一次引入到了后面的解答题中.对高三复习备考工作，起到了很好的启示作用.
　　立体几何与其他知识交汇问题的解决，首先应该立足于立体几何和其它相关知识点的基础的掌握.既然是交汇，考查的重点在于不同知识点间的相互融会贯通，或者说某一知识点在新背景下，不同条件下的应用，而非单个知识深入考查.纵观上面的题目，基本上都有这样的特点.这事实上意味着，知识交汇处是创新型试题生长的沃土，同时也应该是高考立体几何的复习中十分重要的着眼点.
　　参考文献
　　[1]吴金炳，林金沂.基于选拔的立体几何考查研究.福建中学数学，2011（2）：2-5
　　[2]杨茂斌.探析立体几何与相关知识的“交汇性”.上海中学数学，2009（11）：12-15
　　[3]郑廷楷.立体几何与其它数学分支的六大交汇点.考试，2008（1）：13-15

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