[变限积分函数的运算]函数积分运算

时间：2019-05-02 03:25:22　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　摘要：基于变限积分函数的导数运算，给出变限积分函数的一些其他几种运算规律及其应用。　　关键词：变上限积分函数；变限积分函数；导数运算；积分方程　　中图分类号：O174；G642 文献标识码：A文章编号：1006-4311（2012）04-0241-010引言
　　同济大学编写的高等数学教材中给出了变上限积分函数的导数公式：
　　定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，则变上限积分函数F（x）=■f（t）dt在[a，b]上的导数存在，且F（x）=■■f（t）dt=f（x），x∈[a，b]，利用该定理和复合函数求导法易得如下结论：
　　若函数f（x）在[a，b]上连续，μ（x），v（x）是可导函数，且u（x），v（x）∈[a，b]，变限积分函数F（x）=■f（t）dt，则F（x）在[a，b]上可导，且F′（x）=■■f（t）dt=f（μ（x））μ′（x）-f（v（x））v′（x）。
　　1变限积分函数的导数运算
　　当被积函数表达式里面含有变限积分函数的变量x时，要设法将x提到积分号外边来，然后对只含积分变量t形式的被积函数求导。通常从积分号下提出x的方法是对积分作变量代换，把x换到积分的上、下限中去，这是处理被积函数表达式里含有变限积分函数对x的导数的一种常用方法。
　　例1 （1995年数学一考研题）求■■xcost■dt=_____
　　解：原式=x■cost■dt■=■cost■dt-2x■cosx■。
　　例2 设f（x）连续，则■■f（x+t）dt=_____
　　解：令x+t=u，则■f（x+t）dt=■f（u）du，
　　■■f（x+t）dt=■■f（u）du=（1-sinx）f（x+cosx）-2f（2x）
　　2变限积分函数的极限运算
　　对于含有变限积分函数的分式求极限，一般可先判定其是否为■型或为■型，再根据洛比达法则计算，其关键在于求变限积分函数对x的导数。
　　例3 （1998年数学二考研题）确定常数a，b，c的值，使得
　　■■=c（c≠0）（1）
　　解：当x→0时，分子ax-sin x→0，由题设c≠0，应有
　　■■■dt=0 （2）
　　从而必有b=0。事实上，若b>0，则在（0，b]内■■dt>0；若b0，这与（2）式矛盾，故b=0。再由洛比达法则及■■=1得
　　■■=■■=■■ （3）
　　若a≠1，则（3）为∞与（1）式矛盾，故必有a=1，又■■=■■=■，可知：c=■。
　　3被积函数中含有变限积分的定积分的运算
　　对于被积函数中含有变限积分的定积分的运算，可用如下方法：（1）用分部积分法，把变限积分取作u，其余部分取作dv；（2）将原积分化为二重积分，再更换累次积分的次序。
　　例4 （1995年数学二考研题）计算定积分■f（x）dx，其中f（x）=■■dt。
　　解：■f（x）dx=xf（x）|■■-■xf′（x）dx
　　 =π■■dt-■■dx=■■sinxdx=■sinxdx=2
　　4变限积分函数的积分方程的求解
　　当f（x）满足带变限积分的方程时，要解出f（x），通常是对方程两端求导，去掉变限积分，从而得到关于f（x）的微分方程，用微分方程的解法便可解出。
　　5利用变限积分函数的证明问题
　　在积分等式和积分不等式的证明中，可用构造变限积分函数为辅助函数的方法。
　　例 5设f（x）为[0，1]上连续且递减，证明：当0

[变限积分函数的运算]函数积分运算

最新文章

热门文章