2009年高考平面向量考题分类解析_平面向量基本定理
时间：2019-02-23 03:25:31 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
平面向量是高中数学的一个重要知识点,也是一个重要的解题工具. 平面向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法,已经逐渐成为高考的一个命题热点. 下面对2009年全国各地高考卷中平面向量热点试题进行归类解析,希望对同学们有所帮助.
一、考查平面向量的基本概念、基本运算
平面向量的基本概念、基本性质和基本运算是应用向量解决实际问题的基础,向量的加减法的平行四边形法则和三角形法则是向量运算的核心.
例1 (北京卷)已知向量a、b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么()
A. k=1且c与d同向 B. k=1且c与d反向
C. k=-1且c与d同向 D. k=-1且c与d反向
解析 取a=(1,0),b=(0,1),若k=1,则c=a+b=(1,1),d=a-b= (1,-1),显然,a与b不平行. 排除A、B.
若k=-1,则c=-a+b=(-1,1),d=-a+b=-(-1,1),即c∥d且c与d反向. 排除C.
故选D.
点评 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法,属于基础知识、基本运算的考查. 这类题结合图形往往有助于问题的解决.
二、向量的坐标运算
向量的坐标表示是向量的一种表示形式,利用向量的坐标表示,可把向量问题中的几何属性代数化,使问题的解决达到程序化,充分体现了向量的工具性作用,是高考的一个重点.
例2 (浙江卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-3). 若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则向量c=()
A. (■,■) B. (-■,-■)
C. (■,■) D. (-■,-■)
解析 设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).
又(c+a)∥b,则有-3(1+m)=2(2+n).
又c⊥(a+b),则有3m-n=0,所以m=-■,n=-■.
故选D.
点评 向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,从而把数与形紧密结合在一起,这使得向量成为数形结合的桥梁. 本题利用平面向量的坐标运算,考查平面向量的平行和垂直关系,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.
三、考查向量的平行与垂直
利用向量的共线、垂直的充要条件,把几何问题代数化,建立方程(组),使问题变得更加简捷明了,从而得到快速解决.
例3 (海南卷)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实数λ的值为()
A. -■ B. ■ C. -■ D. ■
解析 向量λa+b=(-3λ-1,2λ),a-2b=(-1,2),因为两个向量垂直,所以(-3λ-1,2λ)×(-1,2)=0,即3λ+1+4λ=0,解得λ=-■.
故选A.
点评 平面向量的平行与垂直是向量最重要的两种位置关系,应当熟练应用两向量共线、垂直的等价条件解题.
四、考查平面向量的数量积
利用向量的数量积运算,可以解决有关的长度、垂直、夹角、最值等问题. 这类题目的解题策略是把其他问题转化为向量的模型,再利用向量的有关性质和运算解决问题.
例4 (陕西卷)在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足■=2■,则■・(■+■)等于()
A. -■ B. -■ C. ■ D.■
解析 由■=2■知,P为△ABC的重心,根据向量的加法知,■+■= 2■,则■・(■+■)=2■・■=2|■||■|cos180°=2×■×■×(-1)=-■.
故选A.
点评 本题主要考查三角形中线的向量表示、共线向量、向量加法运算以及向量的数量积的有关运算,其中利用加法运算化归为共线向量的数量积是求解的关键.
五、在平面向量与其他知识的交汇处设计考点
由于向量的工具性作用,在向量与其他知识的交汇处设计考题已成为高考的热点. 解决此类问题的关键在于利用向量的模及数量积坐标运算转化为相关联数学知识,从而进行运算求解.
例5 (广东卷)一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态. 已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()
A. 6 B. 2
C. 2■ D. 2■
解析 F23=F21+F22+2F1F2cos60°=4+16+8=28,所以F3=2■.
故选D.
点评 本题考查了平面向量在物理学方面的综合应用,体现了在“知识的交汇点”处命题的思想. 常见的有平面向量与物理、平面几何、三角函数的知识融合,目的是培养学生用数学的意识.
六、平面向量创新类考题
一些平面向量创新题构思精巧、新颖别致,极富思考性和挑战性,给平淡的数学题增添了生机和活力. 创新题具有很好的区分度和选拔功能,是考查学生掌握知识程度、应用知识能力的“试金石”.
例6 (四川卷)设V是已知平面M上所有向量的集合. 对于映射f∶V→V,a∈V,记a的象为f(a).若映射f∶V→V满足:对所有a、b∈V及任意实数λ、μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),则f称为平面M上的线性变换. 现有下列命题:
① 设f是平面M上的线性变换,则f(0)=0;
② 对a∈V,设f(a)=2a,则f是平面M上的线性变换;
③ 若e是平面M上的单位向量,对a∈V,设f(a)=a-e,则f是平面M上的线性变换;
④ 设f是平面M上的线性变换,a、b∈V,若a、b共线,则f(a)、f(b)也共线.
其中真命题是____.(写出所有真命题的序号)
解析 令a=b=0,λ=μ=1,则
f(0)=2f(0)?圯f(0)=0,故①正确;
由f(λa+μb)=2(λa+μb),λf(a)+μf(b)=2λa+2μb=2(λa+μb),则
f(λa+μb)=λf(a)+μf(b),故②正确;
由f(λa+μb)=λa+μb-e,λf(a)+μf(b)=λa-e+μb-e,则
f(λa+μb)≠λf(a)+μf(b),故③不正确;
由a=λb,f(0)=f(a-λb)=f(a)-λf(b)=0?圯f(a)=λf(b),则
f(a),f(b)也共线,故④正确.
综上可知,真命题为:①②④.
点评 本题主要考查函数、对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质.
(编辑 孙世奇)
