【浅谈代数式求值问题的变通】代数式求值

时间：2019-04-30 03:15:20　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　代数式的化简与求值是初中数学的重要内容之一。其中，代数式求值问题的变形，是一项技巧性很强的变形，往往需要在把求值的代数式变形的同时把条件变形，有时候还要综合运用代数式的恒等变形与方程的同解变形。
　　诚然，中学里的代数式变换、互化是我们解题的一种常规武器，而巧妙地用整体求值，能化繁为简、灵活变通地解决问题，由此产生的数学思想更具有普遍的意义。在许多初中代数式求值问题中，如果“硬碰硬”求值，往往很繁很难。但若仔细观察已知重要条件和求值式的结构特征，灵活变换已知条件或根据已知条件去变形求值式，经过一两次变式就可以轻松快捷地解决问题。
　　一、根据题意，灵活变通已知条件
　　例如，（1）已知x2+y2=7，xy=1，求x+y的值。
　　（2）已知x-■=1，求x2-x的值。
　　（3）已知7a2+7b2=42，ab=1，求3-5a+5b的值。
　　以上这些例题，如果按常规思路，先解方程或方程组，或者把已知条件代入所求代数式，解答就很麻烦，甚至无法求得其结果。如果我们将已知条件变形，就可迎刃而解了。以上述的第（3）题为例，解题过程如下：
　　解：由7a2+7b2=42?圯a2+b2=6①
　　由ab=1?圯-2ab=-2 ②
　　 ①+②得：a2+b2-2ab=4?圯(a-b)2=4?圯a-b=±2
　　 ∴3-5a+5b=3-5(a-b)=3-5×(±2)=3±10
　　 ∴3-5a+5b的值为13或-7
　　二、根据题意，变通求值式
　　数学题的解法蕴含着多种数学思想。可以从已知条件变形入手，也可以从求值式变式着手，殊途同归，寻找解题简捷途径。
　　例如，（1）已知3x+2=a，4y+1=b，求32x+4-42y+2的值。
　　（2）已知b-a=-4，求■-ab的值。
　　以上两题只要从求值式变形入手，就可以轻而易举地求得结果。现将以上的第（1）题为例，解题过程如下：
　　解：由32x+4-42y+2=(3x+2)2-(4y+1)2=a2-b2
　　三、通过观察，将已知条件和求值式同时变形
　　在解数学题时，要善于运用发散思维思想，从多角度去分析问题和处理问题，这样才能容易找到解题的方法和技巧。
　　例如，（1）已知x=■，y=■,求x2-2x+y2+2y+2的值。
　　（2）已知x+■，求x4-x3+2x2-x+1的值。
　　以上述的第（2）题为例，解题过程如下：
　　解：由x+■=1?圯x2-x+1=0
　　由x4-x3+2x2-x+1?圯x4-x3+x2+x2-x+1
　　 ?圯x2(x2-x+1)+(x2-x+1)
　　 ∴原式=x2×0+0=0
　　四、认真观察，从题目中的隐含条件找到解题技巧
　　例如，（1）已知y=■，求yx的值。
　　（2）已知x2-2x+y2+6y+10=0，求x3-3y2的值。
　　以上两题中的已知条件都隐藏着解题的重要契机。只要抓住这个契机，就抓到了解题的金钥匙。
　　以上述的第（1）题为例，解题过程如下：
　　解：由已知条件可知，x-2≥02-x≥0即x≥2x≤2∴x=2
　　把x=2代入y=■可求得y=2■
　　 ∴yx=(2■)2=8
　　五、已知整体值，灵活变通已知条件
　　例如，已知：a-b=5■，a-c=■，求代数式c2-2bc+b2的值。
　　题中虽然已知a-b与a-c的值，但要求值的代数式c2-2bc+b2无法化为已知整体的形式。因此，必须将条件改变形式。不难看出，只需将条件中的两等式相减就可以得到c-b=4■。使用整体代值就可解决问题。解题过程如下：
　　解：据题意得a-b=5■ ①a-c=■ ②
　　 ①-②得，c-b=4■
　　 ∴c2-2bc+b2=(c-b)2=(4■)2=32
　　在以上这些问题中，给出整体的值无法使用，此时，只需把条件稍作改变，就能在问题中得到使用。
　　从以上五个例子的解题思路和过程可知，或变通已知条件，或变求值式子，或是两者同时变形都是代数求值问题的重要途径。只要随机应对灵活变形，就一定会有“柳暗花明又一村”的感觉。

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