变形计所有主人公名单 [两类创新导数题的“变形计”]

时间：2019-03-19 03:29:22　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　作者介绍：江苏省四星级重点高中，连云港市首批名校高级教师，江苏省“333 工程”培养对象，多次荣获“优秀教师”、“优秀教育工作者”、“教学先进个人”、“十佳班主任”、“优秀班主任”等荣誉称号，多次辅导学生在数学奥赛中获全国或全省一等奖。
　　
　　新信息题已成为高考试题改革的一个新亮点，其通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新的模型等创设一种全新的问题情境，主题考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活理解题目的目的。
　　类型一：隔离直线
　　已知函数f(x)和g(x), 若存在常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域的任意实数x，分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，则成直线l:y=kx+b为函数f(x)和g(x)的“隔离直线”。
　　导思一：隔离直线“隔”在何处？如何寻求“隔”点？
　　根据“隔离直线”的定义，其定义域内的任意实数x，f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b同时恒成立，结合函数的图像，曲线f(x)和g(x)上的点完全分布在直线y=kx+b的两侧。因此，根据题意来理解，如果两个函数图像存在公共点，则公共点就应成为解题的关键。
　　导思二：如何突破此类创新题？
　　根据题意，函数f(x)和g(x)对其定义域内的任意实数x分别满足f(x)≥kx+b和g(x)≤kx+b，问题即为两个恒成立问题，所以只要找出隔离直线，剩下的只有利用导数解决恒成立的相关问题了。
　　导思三：如何利用导数解决恒成立问题？
　　如果问题中给出了两个函数间的大小关系确定，即恒成立时，可一步到位――采用作差构造新函数，然后再采用导数法（前提是用导数法便于判断新函数的单调性）证明。
　　思路一：解出公共点，设过该点的直线方程，根据满足题意的条件求出直线方程。
　　例1设函数f(x)= x2，g(x)=elnx 试探究f(x)与g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由。
　　分析：求出函数f(x)与g(x)图像的公共点，并设出过该公共点的直线的点斜式方程，根据题意将问题归结为不等式恒成立问题，利用单调性（导数法判定）求解并证明。
　　评注：寻求隔离直线的关键是，首先找出两函数的公共点，可以采用构造函数法及利用函数的单调性求函数的零点，得出公共点；其次将过公共点的直线设成点斜式，代入已知条件，能同时使两个不等式恒成立的直线，即为所求隔离直线。
　　思路二：求出过两曲线公共点处的切线，则该切线即为“隔离直线”
　　例2设函数f(x)=x2，g(x)=alnx+bx(a>0).
　　（Ⅰ）若f（1）=g(1)，f "（1）=g "（1），求F（x）= f(x) -g(x)求的极小值；
　　（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，是否存在常数k和m，使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由。
　　分析：求出两函数图像的公共点，并求出在该公共点处两函数的切线，如果两函数存在隔离直线，则该切线即为所求。
　　所以h（x）=ln x+x-(2x-1)的最大值为h(1)=0,所以ln x+x≤2x-1恒成立。
　　故存在这样的k和m，且k=2，m= -1。
　　评注：如果两函数存在隔离直线，其思考步骤为：①求出两函数图像的公共点；
　　②求出过公共点处曲线的切线；③证明该切线即为隔离直线。
　　类型二：相依切线
　　对于函数图像上的不同两点A(x1，y1)，B（x2，y2），如果在函数图像上存在点M(x0，y0)其中x0∈（x1，x2）使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”。特别地，当x0= 时，又称AB存在“中值相依切线”
　　导思一：如何理解直线的“相依切线”？
　　直线的“相依切线”，只是一种新名词、新定义的概念，如果抛弃“新”的概念，只从实质上理解，问题则转化为我们熟悉的求曲线的切线问题。
　　导思二：如何解决直线的“相依切线”问题？
　　求出直线AB的斜率，利用导数求出A、B两点间曲线的斜率，；令两斜率相等，建立等量关系，将问题归结为方程是否存在根的问题。
　　例3已知函数f(x)=lnx- ax2+bx（a>0）且导数f "（1）=0.
　　（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f(x)单调区间；
　　（Ⅱ）试问：在函数f(x)上是否存在两点A、B使得它存在“中值相依直线”？若存在，求出的A、B坐标；若不存在，说明理由.
　　分析：（Ⅱ）令直线AB的斜率等于曲线在A、B中点x0处切线的斜率，利用导数法判定该方程是否有解。
　　解：（I）f(x)的定义域为（0,+∞），∵f "(x)=，f "(1)=1-a+b将=0，得b=a -1.
　　将其代入f "(x)= 得f "(x)=
　　当f "(x)>0时，>0 由x>0，得(ax+1)(x-1)0，∴00 得(ax+1)(x-1)>0, 又a>0,∴x>1,即f(x)在(1,+∞)上单调递减，∴f(x)在（0,1）上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.
　　（II）在函数f(x)上不存在两点A、B使得它存在“中值相依切线”.
　　假设存在两点A(x1,y1),B(x2,y2)，不妨设0

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