[聚焦中考中的轴对称]轴对称中考题

时间：2019-01-10 03:21:10　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　轴对称作为图形变换的一种重要形式，深受中考命题者的青睐，已成为很多省市中考的必考知识点，必须给予高度重视.现对近几年中考中的对称轴问题进行总结归纳如下．　　在重点省市中考数学试卷中的分布情况统计
　　
　　从上面的情况统计表可以发现，轴对称在中考中考查的内容丰富，形式多样，题型涉及选择题、填空题、作图题和解答题等，其中尤以选择题居多，填空题相对较少，所占分值在3~10分．
　　
　　一、解读基础――轴对称的概念和性质
　　通过分析2008年各地中考试题可以看出，考查轴对称的基础知识的试题出现得较多，这些基础知识也是解答其他问题的根本依据．
　　1．轴对称图形与两个图形成轴对称的关系．二者区别在于，前者是一个具有特殊形状的图形，而后者指的是两个图形之间的位置关系.它们的联系是：沿对称轴折叠后，直线两旁的部分能够重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两个图形分别可以看做成轴对称的两个图形；反过来，如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是轴对称图形．
　　2.轴对称的性质.轴对称是一种图形变换方式，它只改变了图形的位置，但是图形的大小、形状都没有改变．由于对称轴两边的部分能够完全重合，所以它们必定是全等的，则对应线段相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分．
　　3.坐标轴对称的点的特征．点P（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（x，-y），关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
　　【例题精选】（2008年湖北武汉考题）如图1，六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是（）．
　　Ａ.150°Ｂ.300°
　　Ｃ.210°Ｄ.330°
　　
　　解析：由轴对称图形的性质可知，∠AFE=2∠AFC，∠BCD=2∠BCF．
　　∴∠AFE+∠BCD=2（∠AFC+∠BCF）
　　=2×150°=300°．
　　故选B．
　　【中考题型总结与预测】在2008年各地中考中，对基础知识的考查侧重于判断轴对称图形、轴对称图形对应点的坐标特征和轴对称性质的简单应用．由于这些题目起点较低，内容简单，所以是必须得到满分的试题．在2009年各省市数学中考将继续体现这些命题规律，一般以选择题或填空题的题型呈现，占3~4分．
　　
　　二、能力提升――与轴对称有关的作图
　　“对应点连线被对称轴垂直平分”是画轴对称图形的依据.在中考中，对轴对称图形画法的考查主要有以下3种形式：
　　1.画出已知图形的轴对称图形．先通过“作垂线，截等长”的方法确定对应点，再顺次连接各对应点，即得已知图形的轴对称图形．
　　2.设计轴对称图形．题目往往要求在给定的网格中，利用网格的特征，设计出符合要求的轴对称图形．这种问题的答案通常不是唯一的，同学们可以发挥想象力进行图案设计．
　　3.利用轴对称性质确定最短路线．基本题型为在一条直线同侧有两个点，在直线上确定一点，使之到两点的距离之和最短．
　　【例题精选】（2008年广东深圳考题）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图2所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是___________．
　　
　　解析：作点A关于x轴的对称点A"（0，-3），连结AB，交x轴于点C，则点C就是奶站的位置．
　　过点B作BD⊥y轴，垂足为D．
　　在Rt△A"BD中，
　　
　　【中考题型总结与预测】2008年的中考命题主要涉及轴对称图形的设计和确定最短路线两项内容.考虑到中考命题的发展性，2009年的数学中考试卷中将突出利用网格或坐标进行轴对称作图的问题，形式以填空题和解答题为主，分值约在3~6分．
　　
　　三、注重归纳――对称思想在生活中的应用
　　对称本身就是一种重要的数学思想，我们经常用对称的观点和方法来解决生活中遇到的实际问题．比如：
　　1．折叠剪纸．把折叠后剪得的图案沿折痕所在直线逐步做出轴对称图形，即得展开后的图形．
　　2．镜中看物．如果镜子是与物体是平行放置的，比如站立时看对面镜子中自己的图像，则镜中的图像与实际物体成左右轴对称关系.如果镜子是与物体是垂直放置的，比如站立时看天花板上镜子中自己的图像，则镜中的图像与实际物体成上下轴对称关系.水中倒影与之有相同性质．
　　3．刻制图章．图章上的图形或者文字与印在纸上的效果成左右对称关系，印刷图案或文字也有同样特征．
　　【例题精选】（2008年山东东营考题）如图3，将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）．
　　
　　解析：此类问题考查了动手能力和空间想象能力，我们可以尝试特性逐步展开看到的情况，以折痕所在直线为对称轴依次做出轴对称图形，如图4所示．对照各选项，可知选C．
　　
　　【中考题型总结与预测】在2008年各地中考试题中，对对称思想方法的考查视角多样，以选择题和解答题为主，难度适中，值得我们关注．在2009年的数学中考试题中，将以继承以上命题风格为主导，分值设定大致为3~4分．
　　
　　四、融会贯通――综合题中的轴对称
　　轴对称与其他知识的综合问题在中考题中经常出现，通常与四边形、勾股定理、相似三角形等知识相关，有时还会把它放到平面直角坐标系中加以研究，形成难度较大的解答题．
　　【例题精选】（2008年山东潍坊考题）如图5，矩形纸片ABCD 中，AB=8 ，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，折痕的一端G 点在边BC 上， BG=10．
　　（1）当折痕的另一端F 在AB 边上时，如图5，求的面积；
　　（2）当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图6，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．
　　
　　解析：（1）过点G作GH⊥AD，则四边形ABGH为矩形．
　　∴GH=AB=8，AH=BG=10．
　　由图形的折叠可知△BFG≌△EFG．
　　∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°．
　　∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°．
　　∵∠AEF+∠AFE=90°，
　　∴∠HEG=∠AFE．
　　又∵∠EHG=∠A=90°，
　　∴△EAF∽△EHG．
　　
　　（2）由图形的折叠可知，四边形ABGF≌四边形HEGF．
　　 ∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF．
　　 ∵EF∥BG，
　　 ∴∠BGF=∠EFG，
　　 ∴∠EGF =∠EFG，∴EF=EG，
　　 ∴BG=EF，
　　 ∴四边形BGEF为平行四边形．
　　又∵EF=EG，
　　 ∴平行四边形BGEF为菱形.
　　连结BE，则BE、FG互相垂直平分．
　　在Rt△EFH中，EF=BG=10，EH=AB=8．
　　由勾股定理，得FH=AF=6．
　　
　　【中考题型总结与预测】在2009年的数学中考试题，以折叠作为轴对称方式的综合性问题仍需重点关注，甚至会出现在压轴题中，其分值为7~12分．
　　编辑/王宇
　　
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