利用类比法学习立体几何:
时间：2018-12-23 12:30:13 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
推理与证明已作为新的课程标准内容成为高中数学的选学必考内容,进一步强调了利用归纳与类比等进行合情推理与演绎推理。波利亚在论及类比法时,认为类比推理可以在三个方面发挥作用,①.可以提出新问题与获得新发现;②,可以在求解问题中得到应用;③.可以用来对猜想进行检验。在学习立体几何时,若将平面几何的知识类比于立体几何学习,则会起到事半功倍,系统记忆与触类旁通的作用。
1.如圆中垂径定律与球的截面性质相类似
圆中,垂直于弦的直径,平分弦且平分弦所对的两条弧。圆心到弦的距离为d,圆半径为r,弦长为2l.,则l=。球中,球心与球的截面圆的圆心的连线垂直于截面,球心到截面的距离为d,球半径为R ,截面半径为r 。则 r=
2.直角三角形与直角三棱锥性质类比
直角三角形是平面几何中的基本图形,它有许多性质贯穿于初中几何全部,而直角三棱锥(三个侧面两两互相垂直的三棱锥,也称墙角模型)则可以作为立体几何的基本图形,它们之间有许多性质类似,可间称为;(线对面,长度对面积,面积对体积)。
直角三角形的性质 直角三棱锥的性质
其面积等于两直角边的乘积的一半 其体积等于三条侧棱的积的1/6
两直角边的平方和等于斜边的平方(即勾股定理) 三个侧面面积的平方和等于底面面积的平方(03高考题)
外接圆半径的平方等于两直角边平方和的1/4 外接球半径的平方等于三条侧棱长的平方和的1/4
内切圆的半径等于三角形面积的二倍除以周长 内切球的半径等于三棱锥体积的三倍除以表面积
两直角边与斜边所成角的余弦的平方和等于1 三个侧面与底面所成角的余弦的平方和等于1
斜边上任一点到两直角距离的平方和等于这点到直角顶点的平方 底面上任一点到三个侧面的距离的平方和等于这点到直角顶点的平方
上述类比性质,结构对称,证明方法及思路相似,在此证明直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦的平方和等于1。
已知直角三棱锥V-ABC中, SA⊥SB,SB⊥SC,SA⊥SC, 三个侧面面积分别为要S1,S2,S3,底面ABC面积为S, 三个侧面与底面所成角为α,β,γ 如图
证明,如上图 ,作SO⊥面ABC于O,连结OA,OB,OC ,则易证SC ⊥面SAB ,
由 cosα=S射/S原
得:cosα=SAOB/S1 =S1/S,
cosβ=SBOC/S2 = S2/S,
cosγ=SAOC/S3=S3/S
∴ cos2α+cos2β+cos2=(SAOB+SBOC+SAOC))/S=1
练习:
1、在平面上,“等边三角形内任意一点到三边距离和”,类比猜想,在空间中――π
2、半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则(πr2)’=2πr……①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式子:○2
②式可以用语言叙:。
3、有对称中心的曲线叫有心曲线,如椭圆,双曲线都是有心曲线.过有心圆锥曲线中心的弦有心圆锥曲线的直径,定理;过圆x2+y2=r2(r>0)上异于直径两端点的任意一点,与一条直径的两个端点连线,则着两条连线所在直线斜率之积为-1,
(1)写出定理在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)中的推广命题,并加以证明
(2)写出定理在双曲线中的推广,上述结论在一般有心圆锥曲线中成立吗,写出你的结论。
4 在平面几何里,可以得出正确结论:“正三角形的内切圆半径等于这正三角形高的1/3”。拓展到空间,类比平面几何的上述结论,则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的 。
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