高模态密度结构宽频振动分析的小波有限元方法实现

耿 佳,李 明,张兴武,杨来浩,陈雪峰

(1.西安交通大学 机械工程学院,西安 710049；
2.西安交通大学 机械制造系统工程国家重点实验室,西安 710049)

数值分析方法因其具有可操作性强、成本低、可突破各种理论推导和实验研究条件限制等优点，已被广泛应用于工程领域中进行结构振动特征分析[1-4]。然而，近年来宽频振动分析问题已经成为限制高端装备发展的主要障碍[5-6]。著名学者Mace和Desmet在声振分析领域内顶尖杂志Journal of Sound and Vibration中联合声明，在潜艇、火箭和飞机等高端装备中包含有大量的薄壳、薄板和曲壳结构，在该领域内将此类结构特征尺寸d远大于厚度t(即d/t>10)的结构定义为高模态密度结构，而在对上述结构振动特征进行分析时普遍存在宽频振动分析问题[7-8]。

该问题存在的主要原因之一，是以传统有限元方法为代表的确定性分析方法，在对高模态密度结构进行宽频振动分析时由于计算成本过高，耗散误差明显和参数不确定性等原因，而存在高频域难以提供有效数值解的问题，如图1左侧所示，其中fTFEM为传统有限元方法有效频域上限。而以统计能量分析(statistic energy analysis，SEA)方法为代表的不确定性分析方法由于在带宽内的模态数大于5时才能提供有效数值解而难以在较低频域内进行有效地振动分析，如图1右侧所示，其中fSEA为不确定性分析方法有效频域下限。并且，在fTFEM和fSEA之间存在一个频率区域，正如图中灰色区域所示，该频域即为中频域Ωmid，其可写为

Ωmid=fSEA-fTFEM

(1)

显然，确定性分析方法和不确定性分析方法均难以在该频域内对高模态密度结构进行有效地振动分析，导致难以实现宽频振动分析[9]。

图1 高模态密度结构宽频振动分析Fig.1 Dynamic analysis in the wide-frequency domain

为了解决该问题，基于数值分析方法对高模态密度结构实现有效的宽频振动分析。以鲁汶大学国际声振分析领军人物Wim Desmet教授为代表的学者们，提出了更高求解效率的研究思路[10]。据此，为了提高有限元分析方法在更高频域内的求解精度，Harari等提出了h-FEA和p-FEA方法，用于拓宽有限元分析方法在进行振动分析时，能够提供有效数值解的频域范围，其中h-FEA是通过细化网格来获取更高的求解精度[11]，p-FEA是在特定网格划分条件下使用更高阶次多项式代替低阶插值多项式的方式提高有限元求解精度[12]。上述两种方法可在较低频域内缓解耗散误差导致的数值解偏差较大的问题。Dai等提出了光滑有限元法，并进行了相关应用研究，弱化了耗散误差带来的影响[13]。随后，研究者基于光滑有限元理论提出了节点光滑有限元法，边界光滑有限元法等，并将其应用于更复杂的振动分析问题中，有效提升了有限元分析方法在进行振动分析时的频域上限。Chazot等引入单元分解有限元方法，并结合平面波函数对短波振动分析方程进行了求解，在一定程度上提高了确定性分析方法的分析频域上限[14]。

与此同时，为了缓解数值模型存在参数不确定性，导致有限元分析方法无法在高频域内提供有效数值解的问题，Chen等提出了将变量视为常数，引入随机矩阵和向量，并通过一阶泰勒展开进行研究，基于摄动理论将该泰勒展开式引入至有限元分析方法中进行振动分析研究[15]。Li等提出了将不确定性参数分析方法引入至光滑有限元的振动分析方法，在一定程度上可在工程结构存在参数不确定时提供有效的振动分析数值解[16]。同时，为了更进一步获得具有随机性的有限元建模方法，研究者们提出了随机有限元方法，其在近些年受到了广泛的关注，可以基于统计输入参数来解决输入参数不确定时遇到的数值解存在较大误差的问题。

可以看出，经过国内外学者们长期以来的探索，无论是从降低耗散误差，提高求解效率，还是不确定性参数建模方向，都获得了丰富的研究成果，用以提升振动分析过程中的频域上限。然而，由于传统有限元分析方法的理论限制，导致其无法大幅度降低耗散误差带来的影响，计算成本依然过高。此外，基于有限元理论的不确定性参数建模，均须依托于随机概率分布特征和已知概率参数，导致基于有限元理论的不确定性参数建模方法使用受限。

小波有限元方法(wavelet finite element method，WFEM)是将传统有限元方法中使用的多项式插值函数利用小波函数代替的有限元方法。由于小波函数具有多分辨率特征，这就使得在不细化网格的前提下便可以提高有限元分析方法的求解精度和分辨率，可以同时兼顾求解精度和求解效率。这使得WFEM自出现以来得到了快速且全面的发展。依据文献资料[7-8]可知，以传统有限元方法TFEM为代表的确定性分析方法由于计算成本过高，耗散误差明显等原因，存在高频域难以提供有效数值解的问题，限制了基于确定性分析方法的宽频振动分析实现。因此，本文研究聚焦确定性分析方法存在计算成本过高，耗散误差明显等问题，引入具有高求解精度和求解效率特征的WFEM理论开展研究工作，有望突破确定性分析方法无法实现宽频振动分析的困境。

针对二维问题，Ko等[17]构造了基于Daubechies小波的三角形小波单元。Diaz等[18]基于Daubechies小波构造了二维中厚板小波单元，并且对该类小波单元的求解能力进行了深入研究，研究结果表明Daubechies小波构造的二维中厚板单元不仅可以有效分析中厚板问题，而且可以在对薄板进行分析时避免剪切锁死现象。为了探究结合区间B样条小波和有限元理论的求解精度和求解效率，Xiang等[19]基于BSWI和单元构造理论，构造出了适用于求解薄板问题的薄板单元，并在此基础上展开了多种工况下的数值分析和实验研究。而在基于提升框架的小波单元工程应用研究领域内，Mi等[20]为了提出具有自动满足求精度的有限元分析方法，结合二代小波函数理论和有限元理论提出了具有自适应网格划分的二代小波有限元方法，并实现了对二维声波问题的求解。对于工程中遇到的奇异性问题求解，Wang等[21]提出了基于提升框架算子的自定义小波有限元方法，并获得了很好的求解效率和求解精度。在基于Hermite小波的小波有限元方法研究中，Xiang等[22]基于Hermite三次样条小波构造了Hermite小波单元，并在此基础上对梁结构，转子结构进行了模态分析，相应的数值研究结果表明该类小波单元具有非常优秀的求解精度和求解效率。

可以看出，学者们基于小波有限元方法开展了丰富的理论和应用研究工作，并且针对高模态密度结构的高频振动分析问题，也开展了部分研究工作，取得了初步的研究成果。本文将简要介绍依据小波有限元理论构建高模态密度薄板结构小波有限元分析模型的基本架构和宽频振动分析的实现方式，主要给出了基于小波单元的自耦合算法构造架构，并给出了基于小波单元和自耦合架构实现高模态密度结构建模的基本结构，形成了宽频小波有限元分析方法(wide wavelet finite element method,WWFEM)，着重解决明显的耗散误差和计算成本过高导致传统有限元方法在对高模态密度结构进行宽频振动分析时，难以在高频域提供精准的数值解，致使无法实现有效的宽频振动分析的问题；
随后结合数值分析研究和实验分析研究方法，讨论了小波有限元方法在对高模态密度薄板结构进行宽频振动分析时的有效性和收敛性等，为基于小波有限元方法解决圆柱壳、曲壳等高模态密度结构宽频振动分析问题提供理论参考。

1.1 小波板单元构造

为了基于区间B样条小波尺度函数BSWImj(其中m和j分别为插值小波尺度函数的阶数和尺度)构造如图2所示的c1BWP单元(小波薄板单元)，首先将如图2所示的二维求解域Ωe等间隔划分为n2个区域，其中n=2j+m-4。其次将求解域Ωe映射到标准的求解域ΩS，其中Ωs={ξ,η|ξ,η∈[0,1]}。转换到标准求解域Ωs后，各节点坐标可写为

(2)

图2 c1BWP单元求解域Fig.2 Solution of c1BWP element

(3)

(4)

式中,Φ1和Φ2均为m阶j尺度下的一维BSWI尺度函数向量。Φ1和Φ2的表达式如下

(5)

同时在式(3)中，ae为构造二维单元时的系数向量，则ae可写为

(6)

在构造c1BWP单元时，相应的物理自由度列向量we可写为

(7)

随后，将式(3)代入式(7)可得c1BWP单元的自由度列向量we为

we=Reae

(8)

式(8)中Re可写为

(9)

(10)

(11)

此时，式(10)中的形函数矩阵N可写为

(12)

因此，式(10)可写为

(13)

为了构造对二维板结构具有自由振动分析能力的c1BWP单元，引入板结构自由振动势能泛函Πp，其具体表达式为

(14)

式中：ρ为板结构材料密度；
h为板结构厚度；
ω为激振频率；
κ为广义应变矩阵。κ确定表达式可写为

(15)

D为板结构的弹性矩阵，可写为

(16)

式中：D0为板结构弯曲刚度，具体确定表达式为D0=Eh3/12(1-μ2)，h为板结构厚度，E为材料杨氏模量，μ为泊松比。如式(14)所示，该板结构自由振动势能泛函是在标准求解域Ωs内给出的，在此基础上将式(13)代入式(14)，可得板结构的振动模态方程为

(17)

式中,ω为板结构固有频率向量。则该类单元对应的自由振动频率方程为

(18)

(19)

(20)

1.2 构造小波板单元耦合算法

根据有限元分析理论可知，在建立如图3(b)所示板子结构小波有限元模型之间的耦合关系时，子结构小波有限元模型之间需同时满足转角自由度连续和位移自由度连续条件。而ID(Index Destination)矩阵主要用于表示全局节点编号及其自由度之间的相对关系，基于该相对关系可以建立模拟单元之间连续条件的转换矩阵，从而满足单元之间的位移自由度连续条件和转角自由度连续条件[24]。据此，首先需建立自耦合索引矩阵(self-coupling index destination，SID)，该矩阵主要用于建立如图3(b)所示板子结构小波有限元模型在联结处节点自由度之间的耦合关系，使得相同节点处的自由度相等，从而保证板子结构小波有限元模型之间满足转角自由度和位移自由度连续性条件。在得到有效SID矩阵的基础上可建立如图3(a)所示板结构的整体小波有限元分析模型。

(a) 高模态密度板结构

(21)

式中：符号[·]表示对变量x进行四舍五入计算。分段函数f(x)可基于局部节点编号变量lnnode和单元编号变量ne获取全局节点编号变量gnnode的值。而分段函数g(x)可基于全局节点编号gnnode计算得到全局自由度编号gndof。需要声明的是，在推导SID矩阵过程中同时还需给出自耦合索引单元节点矩阵(self-coupling index element nodes，SIEN)，用以表示单元编号为ne的单元中，局部节点编号为lnnode的节点与全局节点编号gnnode之间的对应关系，从而便于建立c1BWP单元之间的对应关系，即全局节点编号gnnode与局部节点编号lnnode之间的对应关系。

因此，为了建立全局自由度编号gndof和全局节点编号gnnode之间的对应关系，使得子结构小波有限元模型之间满足位移和转角连续性条件，必须给出全局节点编号gnnode与局部节点编号lnnode之间的变化关系。为了建立该变化关系的解析表达式，需构造函数DISdof(a)，该函数可基于局部节点编号lnnode给出相应的自由度数ndof。可以看出，包括c1BWP单元在内的小波板单元根据局部节点对应的自由度数均可分为三类。据此可构造具有相同自由度数的节点集合DOFs,k，其中k用以表示该集合内节点自由度数。集合DOFs,k主要用于表示局部节点编号lnnode对应的自由度数。因此，c1BWP单元对应的集合DOFs,k可写为

DOFs,4={1，n，n2-n+1，n2}

DOFs,2={a1}∪{a2}∪{a3}∪{a4}

(22)

(23)

与此同时，式中向量a1，a2，a3和a4可写为

a1={N∈N+|N=1+i,1≤i≤n-2,i∈N+}

a2={N∈N+|N=1+in,1≤i≤n-2,i∈N+}

a3={N∈N+|N=in,1≤i≤n-2,i∈N+}

a4={N∈N+|N=n2-n+i+1,1≤i≤

n-2,i∈N+}

(24)

此时，依据式(22)～式(24)，函数DISdof(lnnode)可写为

(25)

可以看出分段函数DISdof(lnnode)可用以表征局部节点编号lnnode与相应自由度数ndof之间的关系。由上文SID矩阵特征可知，为了建立全局节点编号gnnode及其自由度数之间的对于关系，必须基于表达式给出局部节点编号lnnode与全局节点编号gnnode之间的对于关系。为此定义函数R(gnnode)，且lnnode=R(gnnode)，其中R(gnnode)具体形式如下

(26)

式中：n为构造小波板单元尺度函数特征参数；
中间变量A和C确定的表达式可写为

(nex-ex+1)(n-1)

(27)

(28)

式中：ex为在水平方向上c1BWP单元个数，可以明显看出，基于函数R(gnnode)可以建立局部节点编号lnnode和全局节点编号gnnode之间的内在联系。基于上述推导结果可以直接建立有效的SID矩阵，与ID矩阵类似，SID矩阵及其元素可以写为

(29)

此时，元素sidi,j的求解表达式可写为

(30)

可以看出，该式可以通过解析表达式给出矩阵SID的所有元素，从而建立SID矩阵。除此之外，如上文中所述SIEN主要用于表征编号为ne的小波单元局部节点编号为lnnode的节点与全局节编号gnnode之间的关系，基于此，SIEN矩阵元素SIEN(lnnode,nelement)可写为

(31)

(32)

式中,元素si,j可写为

(33)

SIEN(lnnode,ne)}

(34)

(35)

式中：n表征了建立高模态密度结构引用的小波单元类型，本章引用的是c1BWP单元，相应的插值小波尺度函数阶数和尺度分为4和3，此时n为9。使用其他小波单元建立高模态密度结构小波有限元分析模型时可依据实际情况进行修正。此时，基于如图3(b)所示子结构划分方式，编号为ne的小波单元c1BWP与板结构小波有限元数值模型之间的耦合关系可写为

(36)

(37)

(2) 将板结构小波有限元模型的整体刚度矩阵Khigh和整体质量矩阵Μhigh代入至模态方程

(Khigh-ω2Mhigh)we=0

(38)

并建立相应的特征方程

|Khigh-ω2Mhigh|=0

(39)

从而计算得到相应的频率向量ω和模态振型Φ，其中ω和Φ可写为

Φ=[φ1,φ2,…,φi,…,φn]

ω=[ω1,ω2,…,ωi,…ωn]

(40)

(41)

(42)

图4 宽频小波有限元分析方法(WWFEM)开展高模态密度板结构宽频振动分析流程图Fig.4 Chart of WWFEM for analyzing the high modal plate

上述即为基于宽频小波有限元方法对高模态密度板结构进行宽频振动分析的基本过程，随后，将分别基于数值分析研究和实验分析研究，讨论该分析方法的有效性。

2.1 有效性分析

为了基于量化指标定义高模态密度结构宽频振动分析，从而便于开展高模态密度结构宽频振动分析方法验证研究。采用我国著名学者姚德源在其专著[25]中给出的依据带宽内的模态叠合因子(modal overlap factor，MOF)，即带宽内的模态数，来作为量化指标的宽频振动分析定义方法，其将宽频域划分低频域，中频域和高频域，具体如下

(43)

并将在上述频域内进行的振动分析分别定义为低频振动分析，中频振动分析和高频振动分析，这也是本文进行高模态密度结构宽频振动分析方法验证研究的基本定义。

如前文所述，当确定性分析方法存在计算成本过高，耗散误差明显时，将导致其在对高模态密度板结构进行振动分析时难以在较高频域内提供有效数值解，导致无法对高模态密度结构进行宽频振动分析。因此，如果WWFEM可在高频域内可对高模态密度结构实现有效的振动分析，则可认为WWFEM必然具有可同时在低频域，中频域和高频域对高模态密度结构进行振动分析的求解能力，随后将基于该思路验证小波有限元方法对高模态密度结构的宽频振动分析能力。

为此，引入如图5所示的四边简支薄板结构数值模型，其中lx和ly分别为该结构在水平和垂直方向的长度，该数值模型的几何，物理参数如表1所示。基于此，首先可以看出该板结构数值模型厚度h与特征尺寸(矩形板对角线长度)的比值远远小于1/10，依据高模态密度结构定义可知其为典型的高模态密度结构。因此，该数值模型可用于分析研究WWFEM对高模态密度结构进行宽频振动分析的有效性。基于对比分析方法验证WWFEM有效性的参考解是基于前1 600阶模态振型和固有频率解析解得到的振动响应解析解。

图5 四边简支高模态密度板结构数值模型示意图Fig.5 Diagram of numerical model of high-mode density plate with simply supported on four sides

表1 高模态密度板结构材料参数Tab.1 Parameters of high modal density plate

依据如式(43)所示的高模态密度结构宽频域划分方式，结合1/3倍频程将分析频域Ω为5～1 000 Hz的频域划分为若干个分析带宽，在此基础上结合如图5所示数值模型的固有频率解析解计算各个带宽内的模态数MOF。可得该数值模型带宽内的模态数随着带宽编号的分布特征，具体如图6所示，其中(1,0)和(23,45)中，括号左边代表带宽编号，右边代表带宽内的模态数。由图中可以看出，在分析频域内该高模态密度结构数值模型在带宽内的模态数最高为45，即MOF最高为45。可见，该数值模型在分析频域内的MOF远远大于式(43)所示的高频域阈值5。因此，如果小波有限元方法可在分析频域为5～1 000 Hz内对如图5所示数值模型进行有效的振动分析，则依据上述宽频振动分析能力验证思路，可认为WWFEM具有对高模态密度结构进行宽频振动分析的能力。

图6 带宽内的模态数MOF随带宽分布Fig.6 Distribution of MOF with bandwidth

据此，分别基于WWFEM和解析方法求解如图5所述的数值模型在5～1 000 Hz以内的加速度响应，其中激振点位置为(xe,ye)=(0.125 m,0.25 m)，拾振点位置为(xr,yr)=(1.375 m,0.75 m)。得到的加速度数值解和解析解如图7所示，从图中可以看出，WWFEM在分析频域Ω为5～1 000 Hz内提供的加速度数值解与解析解保持非常高的一致性。同时依据上文所述宽频振动分析能力验证思路可见，WWFEM可以有效地对高模态密度结构进行宽频振动分析。

(a)

为了进一步验证WWFEM对高模态密度结构进行宽频振动分析的有效性，随后将研究分析WWFEM解决现有确定性方法存在的计算成本过高和耗散误差明显问题的能力，为此将分别讨论小波有限元方法的求解精度(可以用以反映耗散误差的大小)和求解效率。

2.2 WWFEM求解精度和效率研究

依据WWFEM方法宽频振动分析研究结果可以看出，WWFEM方法可对高模态密度结构进行有效地宽频振动分析。本部分将主要对其能够突破现有确定性分析方法局限性，基于数值分析方法对高模态密度结构进行宽频振动分析的主要原因进行讨论，即讨论分析其解决现有确定性方法存在的计算成本过高和耗散误差明显问题的能力。为此，讨论主要分为两方面，一方面讨论WWFEM的求解精度是否可以解决现有确定性分析方法存在耗散误差明显的问题，另一方面讨论WWFEM的求解效率是否可以解决现有确定性分析方法计算成本过高的问题。

为了说明WWFEM可以解决现有确定性分析方法存在耗散误差明显的问题，仍以图5所示高模态密度板结构为数值模型对WWFEM的求解精度进行对比分析，相关参数同上。

为了实现对比，将传统有限元方法(traditional finite element method,TFEM)方法作为确定性分析方法参考解，并基于Ansys作为TFEM方法的实现平台提供确定性分析方法参考数值解。据此，首先利用Ansys平台对图5所示数值模型进行建模，随后在不同网格划分条件下获取激振点位置为(xe,ye)=(0.125 m,0.25 m)，拾振点位置为(xr,yr)=(1.375 m,0.75 m)的加速度响应解，从而获取Ansys最高求解精度条件下对应的振动特征数值解。研究发现，当网格划分条件分别为8×12,80×120和128×192时，对应在200～300 Hz内的稳态响应解如图8所示。

图8 Ansys(Shell63)求解精度极限Fig.8 Solution accuracy of Ansys(Shell63)

从图中可以看出，当网格数为128×192时Ansys计算平台的计算精度已经难以再通过网格细化进行有效提升。因此可见，当网格划分条件为128×192时300 Hz以内的振动分析数值解即为Ansys能够给出的最高求解精度。

为了基于量化对比分析方法研究分析WWFEM与Ansys最高求解精度的差异，以300 Hz以内的前57阶固有频率展开定量对比分析研究。为了可以直观分析WWFEM和Ansys求解精度的差异，定义了相对误差ε(i)，计算表达式为

(44)

式中：ωN(i)为基于WWFEM方法和Ansys得到的第i阶固有频率数值解；
ωA(i)为基于解析表达式得到了第i阶固有频率解析解。将基于WWFEM方法和Ansys得到的固有频率数值解代入式(44)可得前57阶固有频率相对误差，具体结果如图9所示，图中实线表示为Ansys在预测前57解固有频率时的最高精度，虚线为WWFEM方法在预测前57阶固有频率时得到的数值解对应的相对误差。可以明显看出，Ansys最高精度的误差均明显高于WWFEM的求解误差，且求解时间约为。除此之外，如图9所示并不是WWFEM方法的求解精度极限，该求解精度仍然可再次提升，甚至随着划分板子结构数量的提升，数值解可与解析解保持完全一致，而TFEMs由于耗散误差明显难以做到这一点。同时观察Ansys给出的最高求解精度可以看出，随着模态数的增加，其求解精度呈现明显降低且不断波动的趋势，此外结合图8所示可以看出，上述精度已经是Ansys方法的计算极限，其求解精度已无法再次提升，而随着频域范围越来越高，分析带宽内需要精准计算的模态数将急剧增加，这使得Ansys已经无法实现更高频域的振动特征分析，究其原因主要是由于TFEMs明显的耗散误差。而WWFEM成功地突破了TFEMs理论的求解精度限制，随着模态数增加求解精度变化稳定，误差退化较慢，此外该误差仍然可以通过划分更多的板子结构模型实现稳定降低。并且WWFEM在获取上述数值结果过程中的计算时间远远小于TFEMs，约为15 s左右。

图9 WWFEM求解精度对比Fig.9 Comparison of WWFEM solution accuracy

此外，如表2所示为WWFEM和TFEM在获得同样求解精度时相应的建模和计算成本，其中Nnodes为模型节点数，Ndofs为模型自由度数。可以看出当基于TFEM方法得到前100阶固有频率，数值解最大相对误差为0.3%时，相应的高模态密度板结构有限元模型节点数为14 095，相应的自由度数为84 570左右。而WWFEM得到前100阶固有频率数值解最大相对误差为0.3%时，高模态密度板结构小波有限元模型节点数仅为1 089，而自由度仅为1 316。可以看出WWFEM建模包含的自由度数仅为传统有限元的1/64，这从侧面可以反映出WWFEM的计算成本远低于TFEM。除此之外，WWFEM在达到求解精度为0.3%时的计算时间小于4 s，而TFEMs方法需要的计算时间将明显大于10 000 s(约3 h)。

表2 WWFEM方法和TFEM求精效率对比分析Tab.2 Comparative analysis of WWFEM and TFEM

可见，WWFEM可以解决TFEM存在的耗散误差明显和成本过高的问题，从而突破TFEM的求解能力极限，补足了确定性分析方法对高模态密度结构进行高频振动分析时难以满足精度要求的缺陷。因此，WWFEM可对高模态密度结构实现有效的宽频振动分析。为了更进一步研究WWFEM方法的有效性，随后将开展实验分析研究。

3.1 实验研究

为了基于实验分析研究WWFEM对高模态密度板结构进行宽频振动分析的有效性，搭建了如图10所示的板结构实验平台，相应的示意图如图11所示。从该示意图中可以看出，实验研究的板结构边界条件为两长边固支，两短边自由，相应的几何，物理参数如表3所示。由此可知该板结构特征尺寸(矩形板对角线长度)与厚度比值远远小于1/10，即该结构为典型的高模态密度结构。因此，基于图10所示板结构开展的振动实验研究可用于分析WWFEM方法对高模态密度结构的宽频振动分析能力。

(a)

图11 高模态密度板实验模型示意图Fig.11 Schematic diagram of high mode density plate

表3 高模态密度板结构实物几何材料参数Tab.3 Parameters of high modal density board structure

而为了基于实验研究方法分析WWFEM方法对高模态密度板结构的宽频振动分析能力，必须在宽频域内对比分析WWFEM提供的数值解与实验解的相似性，从而说明其具有宽频振动分析的能力。

为此，需确定宽频域Ω，使其同时包含有如式(43)所示的低频域，中频域和高频域。为此，首先将频域Ω为5～1 000 Hz基于1/3倍频程划分为若干个带宽Δωi，进而基于式(40)得到的固有频率向量得到不同带宽内的模态数MOF，得到不同带宽内的模态数分布特征如图12所示。从该图中可以明显看出，不同带宽Δωi内的模态数在0～22之间变化，即如图10所示的高模态密度板结构实验平台在5～1 000 Hz频域内MOF最大为22，明显大于如式(43)所示的高频域阈值5，因此Ω为5～1 000 Hz同时包含有低频域，中频域和高频域。换言之，在频域Ω为5～1 000 Hz时对图10所示高模态密度板结构实验平台进行的振动分析时，同时包含有低频振动分析，中频振动分析和高频振动分析。因此，对如图10所示高模态密度板结构在频域Ω内进行的振动分析实验研究，可以研究分析WWFEM的宽频振动分析能力。

图12 模态数分布特征Fig.12 Distribution characteristics of modal number

据此，首先分别基于实验方法和WWFEM得到如图10所示高模态密度板结构在频域Ω内的加速度响应数值解和实验结果，随后对比得到的加速度响应数值解和实验结果，依据对比结果研究分析WWFEM对高模态密度结构进行宽频振动分析的有效性。

为了实现上述目标，实验过程采用的仪器主要包括：力锤，加速度传感器和信号采集系统，仪器型号和实验时选择的灵敏度信息如表4所示。与此同时，为了满足数据精度需要，在实验过程中设置的采样率为2 560 Hz，对应的分辨率为0.071 85 Hz。实验时，将传感器依据表5所示的拾振点位置信息安装于如图10所示的高模态密度板结构振动实验台中，随后依据表5所示的激振点位置信息使用力锤在相应位置点处进行敲击实验。最后，将采集到的加速度信号和力信号输入至信号处理系统可得加速度响应实验结果。

表4 实验设备信息Tab.4 Laboratory equipment information

表5 激振点和拾振点位置信息Tab.5 Information of excitation point and pick-up point

3.2 WWFEM振动实验结果分析

依据3.1中所述可知，为了基于实验对比分析方法研究分析WWFEM对高模态密度结构的宽频振动分析能力。首先，基于锤击法和表5所示激振点位置信息和拾振位置信息得到加速度响应的实验结果。随后，基于WWFEM和如图11所示板结构实验平台的几何，材料参数(如表3所示)建立如图10所示高模态密度板结构的小波有限元分析模型，并在此基础上依据表5所示激振点位置信息和拾振位置信息得到加速度响应数值解。最后，依据得到的加速度响应数值解和实验结果展开对比分析研究，具体对比分析结果如图13所示。

结合3.1中宽频域定义可以看出，在5～300 Hz之间的较低频域内，自左往右观察图13(a)～图13(d)所示数值解与实验解可以看出两者均保持非常好的一致性(在声振分析研究领域)，这说明了WWFEM方法在较低频域内对高模态密度进行振动分析的可靠性。

与此同时，自左往右观察如图13 (a)和图13 (c)所示结果可以看出，数值解在频域为500～1 000 Hz之间仍然与实验解保持着高度的一致性(在声振分析研究领域)，而该频域明显包含有高频域的。因此WWFEM具有自低频到高频的振动分析能力。依据式(43)所述可见，WWFEM方法具有可对高模态密度板结构进行由低频到高频的宽频振动分析能力。而图13(b)和图13(d)所示数值解在频域为500～1 000 Hz之间与实验解的误差明显高于图13(a)和图13(c)所示，该误差主要是由于在对应的实验中锤击法在较高频域内较低的信噪比造成的。除此之外，WWFEM在得到如图13所示的高模态密度结构宽频振动响应数值解时基于个人PC计算平台的计算时间均小于15 s。因此可见，WWFEM对实际工程中的高模态密度板结构可以实现有效的宽频振动分析，兼顾高求解效率。

(a) 工况1

此外，为了进一步说明本文所提方法进行宽频振动分析时的先进性。引入Hybrid SEA/TFEMs架构中对高模态密度结构实现振动分析的SEA方法和本文提出的WWFEM方法开展宽频振动分析验证研究，得到的对比分析结果如图14所示。自左往右观察如图14所示结果可以看出，在20～2 000 Hz的频域范围内，由WWFEM计算得到的加速度响应数值解与实验得到的加速度响应实验结果保持着非常好的一致性，尤其在高频域1 500 Hz附近提供了精准的振动相应细节特征。而Hybrid SEA/TFEMs架构下的SEA方法虽然在高频域可以提供振动水平的平均情况，但仍然存在低频域误差较大，并且在高频域存在无法提供振动响应细节信息的问题。

图14 加速度频响函数数值解对比分析Fig.14 Comparison of experimental numerical solutions

综上所述可见WWFEM可以仅基于确定性分析方法提供比SEA方法更为有效的数值解，同时非常有效地解决了SEA方法在进行宽频振动分析时存在的低频域误差较大、无法提供振动响应细节信息的问题。这为简化振动分析方法的使用提供了有效的技术支撑，有望仅基于有限元分析平台即可实现高模态密度结构的宽频域振动分析。

以传统有限元分析方法为代表的确定性分析方法由于计算成本过高，存在明显耗散误差等难题，使得基于传统有限元理论的商业软件存在难以对高模态密度结构进行宽频振动分析的问题。本文结合理论推导、数值分析验证和实验分析验证，介绍了小波有限元方法在解决该类问题时的潜在优势。并重点论述了自耦合算法的推导架构，为基于小波单元建立高模态密度结构分析模型提供理论基础，形成了宽频小波有限元分析方法，并对该方法的有效性进行了数值分析研究和实验分析研究。结果显示，在建模精度符合要求的条件下，小波有限元分析方法可对高模态密度板结构进行非常有效的宽频振动分析，并且可快速提供数值解，保持优秀的稳定性。本文研究结果可为基于小波有限元分析方法解决圆柱壳和曲壳等经典高模态密度结构的宽频振动分析问题提供理论依据，对具有复杂几何特征的高模态密度结构宽频振动分析，仍需进一步研究。

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