高校数学课程教学的改革与思考——以图论课程教学改革为例
时间：2023-02-12 09:25:06 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
◎刘长春
(吉林大学数学学院，吉林 长春 130012)
图论是离散数学的重要分支，也是综合性大学数学与应用数学专业的必修课.随着大数据和互联网的发展，图论受到广泛的重视，它在计算机科学、通信工程、金融与管理等方面都有着广泛的应用.它不同于微积分、常微分方程、实变函数、数学物理方程等课程，它主要训练学生逻辑思维能力、离散数学方面的思维能力.另一方面，许多图论问题都具有实际背景，能够培养学生理论联系实际的能力.图论课程内容非常多，并且不同于分析性质的课程，环环相扣，承上启下，它的各部分内容可能毫不相关，概念多，解决问题的方法似乎杂乱无章，不能统一概括，课堂上需要不断引入新概念、新结论，学生思考的时间少，师生互动少，学生经常感到该门课程抽象、难以理解和接受，甚至对该门课程产生厌倦心理.近年来，许多学者已经开始重视图论教学的改革[1-4].我们也一直在对数学和应用数学专业本科生图论课程的理论教学内容进行改革与实践.我们希望通过进一步系统、深入、全面地进行图论课程的教学改革与实践，争取达到学生在教师讲解后能自主学习，促进科学研究、当今科研领域前沿热点与教学的紧密结合，培养学生的创新意识，完善素质教育模式.
图论课程的特点是理论性强、逻辑思维强、证明的技巧性强、抽象难懂.尽管图论问题来源于实际，具有深刻的背景，本应该成为学生喜爱的课程，但目前图论课程教学方法单一，重理论轻应用，理论显得抽象、空洞.这些情况，使得学生学习图论的热情不高，缺乏学习兴趣.板书式的经典教学模式难以直接反映图论学科发展的特点，传统的教学内容陈旧很难跟上学科发展的前沿，课堂教学学时少，教学内容少，各种应用很强的算法少，学习层次较浅.传统的教学方式侧重于基础知识、基本定义的讲解，重要定理和理论的逻辑推导，缺乏基本概念引入的实际背景介绍.对于定理的讲解主要是给出详细的证明过程和认真细致的推导，缺少对学生观察分析能力的培养，缺失对学生抽象思维和定理证明思想的训练.传统的教学方式和教学内容很难适应时代发展的需要.探求提高学生的学习兴趣，激发学生的探索欲望，改变理论课教学的被动局面，以研促教，科教融合以及加强学生的思政教育等适应信息时代发展的教学方法和手段势在必行.为此，我们要探究新时代下图论课程创新人才培养模式，并通过实践来探索新时代下图论课程的改革与实践.我们通过教学总结出以下几点.
1.通过有趣的例子讲解复杂的理论，激发学生的学习热情
图论课程逻辑思维较强，一些理论、概念比较抽象难懂，学生很难短时间理解和掌握.在讲授过程中，我们将抽象理论与有趣的例子相结合，通过实际例子让学生易于理解和容易接受复杂的理论等.如：可以将Konigsberg七桥问题抽象成具体的图论的顶点和边的关系问题.讲Euler环游一节时的重要结论“一个非空连通图是Euler图当且仅当它没有奇点”的证明复杂难懂，让大多数学生聚精会神听完证明很难，如把它和一笔画等有趣问题联系起来，学生会非常感兴趣.其他如地图着色问题、最短路问题、Ramsey 数、Hamilton 环球旅行游戏[5，6]等有趣而实际的例子可以激发学生学习的兴趣，进而喜欢图论课程.同时，在讲解复杂定理的证明时，首先让学生能马上理解我们的证明思路，避免由于证明过程冗长和复杂运算掩盖和模糊了推理的精神实质.将问题进行了合理的简化处理，突出主要特点和主要理论，避免繁复的计算和推导而忽视了问题的本质.
2.训练学生把实际问题变成图论问题，实现理论和实践的完美结合
图论教学不仅要求学生掌握图论基本概念和理论，更重要的是训练学生把实际问题抽象成为图论问题，并利用图论的相关理论来求解实际问题的能力.而这样的解决实际问题的能力，是需要通过图论教学循序渐进地培养的，因此在讲授的内容能与实际问题相结合时，教师要提前去发掘相关的实际问题去训练学生.如在讲授顶点的度一节时，可以把“人群中总有两人具有相同的朋友数”转化为“简单图中，存在度相等的两个顶点”问题.其他如信息传输问题、交通网络问题都可以转化成图论问题.这样学生增加了学习兴趣，同时学生的建模能力也进一步得到提高，达到训练本科生利用图论解决问题的目的.数学建模是实现把图论理论应用到实际的重要方式，现在越来越多的教学科研人员逐渐重视图论在数学建模中的应用[7].通过数学建模，把实际问题变成图论问题，这样学生即学会了相关的图论理论，又能把所学重要结论在实际问题中应用，实现理论和实践的完美结合，达到新时代图论人才培养的目标.
3.引入当今科学研究前沿，简介学科新成就，以研促教，科教融合
综合性大学数学与应用数学专业教育的目标是培养胜任相关专业及能够从事科研工作的人才.因此，在牢固地掌握理论知识的同时，又要为从事科学研究培养初步能力.结合专业课学习进行科研兴趣和能力的培养.本科生的创造性在全面性基础上具有专业性特点，学生有大量的时间与专业课教师接触，大量的专业问题等待去解决，教师充分利用这个阵地，传播科学知识与科研精神，帮助学生确定选题，让学生利用该门课程所学的知识去解决问题.这样既能调动学生学习该门课程的主动性和积极性，改变教学的被动局面，同时也培养了学生的科研兴趣.在理论知识的讲解中，注意科学前沿和最新科研成果的介绍.如介绍在信息科学、生命科学等领域的超图(Hypergraph)的进展，以及我国在超图方面取得的进展.另一方面，可以给有能力和对图论感兴趣的同学一些小的科研问题，鼓励组成学习小组进行讨论，让同学们去查找相关资料，了解问题研究的历史和现状，然后能否通过课堂学的内容解决问题，达到对本科生进行科研训练的目的.
4.讲解相应的数学软件，培养学生利用计算机解决问题的能力
传统的基础教学注重理论性，缺乏实际应用，对后续的其他专业课程帮助不大.我们要在授课中突出知识的应用思想，重视基础、鼓励创新.图论中有大量算法如最短路问题的Dijkstra 算法、最大流问题的标号算法、最小生成树问题的Kruskal 算法、最大匹配的匈牙利算法等等.图论中的这些算法是教学中非常重要的内容，对培养学生的兴趣和运用计算机解决问题的能力是非常有益的.近年来，许多学者开始探讨计算机在图论教学中的重要应用[8].教学中注重讲解相应的数学软件如Matlab等，培养学生利用电脑解决实际问题的能力，利用计算机实现这些算法.图论中的许多问题都能转化成优化问题.因此，我们在授课时将数学软件作为辅助教学的工具，将理论教学和软件使用融为一体，使学生更加深刻地理解相关理论和算法，提高课堂教学效率.在图论教学中使用数学软件，有助于加深学生对抽象理论与算法的理解，调动学生积极性，提高学生应用软件解决问题的能力.通过图论的学习，可以促进学生其他课程的学习和理解如计算方法课程、C语言程序设计等.
5.有选择性并及时讲解典型习题，提高学生对所学知识的理解
图论课后习题对于巩固学习的新知识、检验学习的效果、提升思考能力具有重要作用.图论的课后习题具有很强的针对性，有的甚至是课堂内容的补充和推广.习题的讲解能让学生更好地掌握和巩固所学的理论知识，促进对新的内容的理解和学习.图论课程逻辑思维强，习题难度较大.首先，讲课时要指出本章的典型题目，便于学生理解和掌握该章重点.其次，讲解习题时要有所侧重，由简入繁，进而选择综合性题目.图论的一些习题是对课堂所讲内容的完善和补充.对习题及时讲解既能增强对所学理论的理解更能进一步增加新的理论和知识，使学生的相关思维能力得到提升.
6.适当介绍一些数学家的事迹，加强对学生的励志教育
授课教师把重心集中于专业知识的传授，往往忽略了对学生理想信念的教育，应当加强课程顶层设计，开展专业课程理论知识和理想信念相结合的教育方式.增强理想信念教育元素，将育人放在教学的首位，通过梳理其中所蕴含的理想信念教育元素和所承载的思想教育功能，通过打破专业教育壁垒，把理想信念教育自然地渗透到教学内容当中.Euler、Cayley、Hamilton、管梅谷等数学家在图论方面做出了重要贡献，在教学中，适当介绍他们的一些事迹，可以对学生进行励志教育.如在介绍Konigsberg七桥问题时，介绍数学家Euler的事迹；
讲四色问题时可以介绍英国数学家Cayley；
讲授中国邮递员问题时，可以介绍管梅谷教授的事迹.通过这些数学家的介绍，让学生认识到做科研要严谨认真，促进行为思政教育.培养学生树立刻苦钻研、思维严谨、工作求实的作风.同时让学生认识到科研绝不是一朝一夕的投机取巧，需要付出艰辛的努力和孜孜不倦的探索，从本科阶段培养献身科研，拼搏进取的基本精神.
7.建立多种考核方法，促进学生的学习兴趣
在本科教学中，学生非常注重成绩，教学中的各种改革都需要与成绩密切相关，否则可能根本达不到目的.利用综合作业、小组合作学习和专题小论文等体现结果的形式进行评价.建立注重基础和能力、注重交流和创新的考核方式，形成“作业与报告相结合，考试与讨论相结合，实践与科研相结合”的综合考核方式.针对图论课程内容多、概念多且各部分互不关联的特点，通过合理安排阶段学习，利用过程性评价等考核方式，让学生完成基本知识的学习，利用翻转课堂可以让学生讲解简单的基本定理和结论，然后教师做出评价给分等考核.
8.利用在线课程的资源，在线学习有关课程内容，提高教学效果
由于线下学时有限，网络学习为拓展教学内容范围提供了条件.现在网上资源非常丰富，为实现深层次学习提供了足够的资源.教师提前将授课相关的资料上传至微信群供学生学习；
借助微信群在混合式教学中将更进一步的理论知识等春风化雨润物细无声地融入教学全过程.混合式教学将在线教学和传统教学的优势结合起来的一种“线上”+“线下”的教学，把学习者的学习由浅到深地引向深度学习，同时还要充分利用MOOC、翻转课堂、资源共享课等资源，达到提高教学效果，丰富学生的知识体系，帮助学生更好地了解图论的研究背景和发展状况的目的.教师在利用网络资源丰富同学视野的同时，也应该提出一些相关问题，让学生带着问题去思考、去查资料，引导学生主动学习更深入的知识.随着网络学习的深入，教师应适时地根据学生的学习能力、知识储备等对学生进行个性化指导.根据大学生创新项目的特点、全国大学生数学建模和美国大学生数学建模的题型、毕业论文的要求等把合适的专业资料推荐给学生，引导学生进一步深入地、有目标地学习，从而达到学生主动学习、主动思考、勤于查资料的目的.
9.建立课外兴趣小组，达到学以致用的目的
让对图论感兴趣的同学组成兴趣小组，在课下可以讨论相关问题.强调学生自主参与，自愿组合，充分发挥学生的个性.学生的主体作用得到充分发挥，所学知识得到运用，学生的独立性、责任心得到进一步发展.兴趣小组的学生在学习一段时间以后，教师可以与市内交警队建立联系，让学生利用所学线性规划和图论知识考虑市内交通流，红绿灯控制等问题，以及与市内各大医院联系考虑患者排队问题等，让学生真正体会到知识的用处，促进学习.
10.发挥教师的个人学术能力，提高学生的学习积极性
课堂生动有趣、精彩高效是每名教师都追求的梦想.教师经常通过改变教学方法，采取各种灵活多样的方式吸引学生的注意力、调动学生的积极性.更重要的是教师自身也要注意提高个人的学术水平，如发表一些这方面的科研论文，介绍一些自己的研究成果，达到让学生敬慕，进而让学生喜欢上该门课程的目的.教师同时应该提高教学水平、丰富图论方面的知识，让学生感觉到教师知识渊博，感觉到该门课程前景远大，进而能主动学习，积极向教师请教问题.教师在课堂教学中所表现出来的个人魅力、学术水平等对学生具有极大的影响.教师积极的言传身教有利于提升学生对图论的学习兴趣，同时能激发教师的教学热情，达到教学相长的良好氛围.
上面所总结的几条在教学过程中活跃了课堂气氛，促进了学生知识的增长，培养了学生树立刻苦钻研、思维严谨、工作求实的作风，能够达到思政教育的目的，在学生参加全国大学生数学建模和美国大学生数学建模竞赛、大学生创新创业训练计划等实际问题中具有一定的促进作用.以研促教、科教融合的措施对于研究生期间从事图论研究的学生来说，能够起到承上启下的作用.
猜你喜欢 图论理论数学 坚持理论创新当代陕西(2022年5期)2022-04-19神秘的混沌理论新世纪智能(数学备考)(2021年9期)2021-11-24理论创新 引领百年湘潮(上半月)(2021年4期)2021-07-20相关于挠理论的Baer模汕头大学学报（自然科学版）(2020年4期)2020-12-14基于FSM和图论的继电电路仿真算法研究铁道通信信号(2020年12期)2020-03-29代数图论与矩阵几何的问题分析知识文库(2018年12期)2018-09-06组合数学与图论课程教学改革与实践电脑知识与技术(2016年11期)2016-06-17我为什么怕数学新民周刊(2016年15期)2016-04-19数学到底有什么用？新民周刊(2016年15期)2016-04-19错在哪里中学生数理化·高二版(2008年7期)2008-06-15
