基于小波分析的波浪破碎能量变化特征

赫岩莉，毛鸿飞，林金波，田正林，吴光林

（广东海洋大学海洋工程学院，广东 湛江 524088）

波浪破碎是海面常见自然现象，其物理过程较为复杂。破碎发生时所产生的能量变化不仅对水气交换、泥沙输送等问题具有直接影响，也是导致海上结构物发生危险的重要因素，因此，研究破碎波非线性能量特征对有效防护海洋工程结构安全具有重要意义。Rapp等[1]通过实验对破碎波非线性特征进行综合分析，指出破碎能量耗散率与整体波陡具有依赖关系，当破碎发生后，能耗主要来源于1～2倍主频成分。Meza 等[2]将约束波和自由波分离，对破碎前后自由波幅值谱进行分析，显示破碎能耗主要聚集在1.2～2.5 倍主频区域，整体变化区间比Rapp 等[1]的结果略大。Tian 等[3]结合物理和数值实验对有限水深聚焦波群频谱演化进行分析，发现在破碎前大量能量由1.2～1.5 倍主频成分向1.5～2.5倍主频范围进行转移；
当破碎发生后，1.5～2.5 倍主频能量发生明显损耗；
同时，1.5～2.5 倍主频能量的获取可能与调制不稳定指数相关。在Tian 等[3]研究中，破碎能耗范围与Meza 等[2]结果几乎一致，但整体上比Rapp 等[1]的结果略高。Liu 等[4]对较强非线性聚焦波演化实验进行分析，发现波浪在未发生破碎前就已出现1.00～1.75倍主频能量逐渐向更高频部分转移现象，说明在波浪传播过程中能量转移发生很快。Ma 等[5]采用新波理论分析波浪聚焦过程中非线性能量特征，发现频带宽越大，能量转移到低频和高频成分现象越明显。上述研究[1-5]均对破碎波的能量特征提供有价值的成果，然而只有Ma等[5]对波浪演化过程中引起能量变化的具体频率成分及其之间相互作用情况进行分析。但Ma 等[5]分析对象主要为较大频宽随机波，针对较小频宽波况的能量变化特征，还需进行补充研究。由于破碎波浪发生和演化过程的复杂性，目前仍存在大量基础问题有待于深入分析。鉴于此，本研究采用实验方法，以易产生瞬时大波的小频宽高斯波群为研究对象，分析深水波浪演化过程中非线性相位耦合作用[6]及其对能量变化的影响，进而阐明破碎能耗的主要来源，以期达到深入了解波浪破碎非线性特征的目的。

1.1 实验水槽布置

本实验在大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室大型波流水槽中进行。水槽一端安装伺服式造波机，为避免波浪反射，在另一端布置充足消浪网，波浪传播方向从左向右。为防止宽度方向三维影响，从水槽4.9 m 处开始用光滑水泥墙将水槽分成0.8 m 和1.2 m 两部分，选取0.8 m 作为实验区域。本实验中，沿水槽长度方向共布置34个浪高仪进行波面测量，测点布置见图1。每个波况重复进行三次实验，每次实验时间间隔约10 min 左右，以便实验操作之前水面恢复平静。在实验过程中，波浪破碎形式为崩破，观察并记录破碎位置及次数。

1.2 波群生成和实验波况

本实验中，采样频率fs为50 Hz，采样点数为8 192。在造波过程中，当一个独立波群完成后，立即停止造波，波浪随即向水槽尾端方向自然传播。当波浪传播至水槽末端时，虽有充分吸波装置，但实际情况仍存在小量反射波逐渐从水槽尾部向入射端反向传播现象。为消除潜在反射波对波列尾部的影响，可适当对数据进行截取。因此，在数据处理过程中，选取包含整个波面升高内容在内的4 096个点（其余点补零）进行分析，以便进一步消除反射波影响。

为充分研究波浪非线性特征规律，实验选取不同的初始条件，相关参数见表1。其中，波况名称中带字母“b”说明该波群在演化过程中发生了破碎；
ε=k0A0为局部初始波陡，k0为载波频率f0=1 Hz 对应波数，A0为初始波幅，由首测点x=4.9 m 位置所测数据确定；
Δf为频带宽，fp为频谱的峰频率；
调制不稳定指数BFI 可定性判断调制不稳定发生情况，根据Janssen[7]，BFI定义为

表1 实验工况设置Table 1 Experiment setup

其中，G为全局波陡，根据Tian等[8]定义为

其中，ks是由fs基于线性有限水深色散关系得到的特征波数，ai为对应基本波浪的幅值。基于Drazen等[9]和Tian等[8]的谱加权参数定义，fs定义为

其中，fi为基本波浪成分的频率，df为频率间隔。

本研究分析对象为实验中常用的高斯波群，采用与Shemer等[10]一致的波面升高形式：

其中，Ap为造波机运动冲程，与初始波幅关系为A0=Ap×Trsfun，Trsfun为传递函数[11]；
N为波群宽度，t为时间。

1.3 分析方法

本研究采用傅里叶变换和小波变换对波浪能量谱演化进行分析。此外，为深入分析波浪演化过程中波浪成分的相位耦合作用及其对能量变化的影响，需采用更高阶谱进行数据分析。但因实验采集数据相对较短，所以不宜采用傅里叶变换的二阶谱。基于此，本研究采用可用于分析较短时间信号的小波二阶相干谱方法[6]进行数据分析。根据文献[6]第四章内容，给定时间序列x(t)，其连续小波变换结果W(a,τ)为

其中，*号表示复共轭，a为尺度，τ为时间平移，对应的小波基函数为

选取Morlet小波作为母小波，其表达式为

其中，ωm为小波的峰频，该频率要求大于5.5。

基于小波变换，对应的小波二阶谱定义如下

其中，T为信号长度，f1、f2和f3满足以下关系：

B(f1,f2)的意义为：在时间T内，时间序列x(t)中f1和f2成分与f3成分之间相互作用的程度[12]。为更直接测量相位耦合程度，定义二阶相干系数平方b2(f1,f2)，即规范化平方小波二阶相干谱为

其中b2(f1,f2)取值范围为0～1，其取值越大，说明f1和f2成分与f3成分之间相互作用的程度越强。

2.1 波面和能量谱演化

随着波群沿水槽长度方向演化，波面从初始对称形状逐渐显示出明显不对称特征，见图2（a），对应能量谱也发生明显变化，见图2（b）。以WG2b 波况为例，该波况在x=13.9 m 处波面升高达到最大值随后发生破碎，该位置对应地称为初始破碎点。由图2（b）可见，随着波浪沿程传播，能量谱明显加宽，同时主频右侧高频成分能量明显增加。当经过x=13.9 m 后，破碎发生，高频和主频周围能量明显减小，说明这两部分能量受黏性、破碎和能量重分布等综合因素发生明显变化。但破碎对能量谱影响具体体现在哪些波浪成分上，尚未清晰体现，还需进一步分析。除此以外，在波浪趋近初始破碎点过程中，低频能量也明显增加；
但根据破碎发生后该部分能量无明显变化可知，低频成分受破碎和黏性影响较小。因此，在本研究中，主要分析波浪破碎对高频成分的影响。

图2 波群WG2b（a）波面升高和（b）能量谱演化Fig.2 Evolution of(a)wave surface elevation and(b)energy spectra for wave group WG2b

2.2 波浪特征参数演化

由图2 结果可见，波浪在破碎前后其波形特征和能量发生明显变化。本研究基于Drazen 等[9]和Tian 等[8]谱加权参数定义，对波浪特征参数在破碎前后变化情况进行分析。

图3给出实验波况谱加权频率fs、整体波陡G和谱宽ν沿水槽长度方向演化情况，其中灰色部分为破碎区域，采用三Y轴坐标形式对以上三个特征参数演化情况进行比较分析。根据图3 可知，随着波浪趋近聚焦点（未破碎波况，图3(a)）或破碎点（破碎波况，图3(b—f)），fs和G均出现先增后减现象。在聚焦过程中，fs增加说明波浪整体频率上移，能量向高频成分转移。在破碎点处，G和fs均达到最大值，根据公式(2)和(3)可知，此处波浪成分幅值之和有明显增长，从而说明波浪成分个数增加，并且整体偏向高频部分。破碎发生后，G和fs快速下降，说明整体频率下降，且波浪成分之和也随之减小，波浪个数减小。

图3 波群特征参数演化Fig.3 Evolution of the characteristic parameters for wave groups

波浪个数增加与减小，与谱宽直接相关。基于Longuet-Higgins[13]谱宽ν定义，本研究对实验波况谱宽进行分析。由图3 可见，在波浪聚焦过程中，ν与G增长趋势一致，当破碎发生后，G明显下降，而ν仍保持增长状态，但增长速度明显下降。这说明波浪在聚焦过程中，除能量向高频成分转移之外，由于调制不稳定作用，还有新波浪成分产生，使得谱宽快速增加；
而当波浪破碎后，高频部分能量下降（谱加权频率整体下降），而调制不稳定作用不会因波浪破碎而立即消失，因此三阶共振作用依然会产生新的波浪成分；
同时，波浪发生破碎后又释放约束波，因此在破碎区域谱宽呈现缓慢增长状态。在破碎区域下游，波浪发生解调制且不再释放约束波，因此谱宽逐渐开始下降，但最终仍没有恢复到初始状态。由以上分析可知，在波浪演化过程中，波浪成分的能量、数量、相互作用对象等方面不断发生变化，本文将针对具体波浪成分变化以及这些变化对能量的影响程度和方式作进一步分析。

2.3 能量变化分析

波浪在演化过程中，不仅特征参数发生改变，能量也随之发生变化。本研究采用小波变换方法对波群能量转化和瞬时频率变化进行分析。根据小波变换结果W(a,τ)，可得到小波变换能谱P(a,τ)为

以破碎波群WG6b 为例，图4 为该波群小波能量谱P（单位：m2）和瞬时频率（白色实线）的沿程演化结果，该结果中包含两次破碎，分别出现在x=15.9 m 和x=19.9 m 处。由图4 可见，波群在初始位置处瞬时频率集中在1 Hz 左右，表明波群主要能量均集中在主频。随着波浪逐渐演化至破碎发生之前（x=13.9 m），由于调制不稳定和谐波非线性作用，2 Hz 周围的高频部分能量出现明显增长。当达到首次破碎位置x=15.9 m 处时，大量能量转移到高频部分，此时频率范围跨度较大，瞬时频率出现明显下降，说明携带最大能量的频率开始减小，频带下移。破碎发生后（x=16.9 m），高频能量损耗明显，但仍有部分可见。随后，当波群再次传播至破碎发生之前（x=18.9 m），高频能量再次出现增长。同样，当在第二次破碎发生位置x=19.9 m 处，能量再次转移到高频成分上，瞬时频率继续下降；
破碎后（x=20.9 m），高频能量明显减小。最后，波浪经过破碎区域、在其下游传播过程中，能量始终集中在下降后主频周围，不再向高频成分进行能量转移。

图4 波群WG6b小波谱和瞬时频率演化Fig.4 Evolution of wavelet spectra and instantaneous frequency for wave group WG6b

根据图4 中波浪破碎前后小波谱变化可知，破碎后高频部分能量明显减小，能耗范围约为1.6～2.5 Hz 之间，包含在Tian 等[3]和Meza 等[2]分析结果的范围区间。为更明确破碎引起的能量范围，本研究将实验中即将发生破碎和破碎后位置的能量谱进行比较，分析结果见图5，其中灰色部分对应1.6～2.5 Hz 频率区域，黑色星号和加号分别表示初始测点和最后测点处对应的频谱信息，其他位置能量谱可见图例，对应波况与图3相同。由图5（a）可知，针对未破碎波群，波浪经过聚焦点后，高频部分能量无明显变化（对应红色实心和空心圆）。而针对破碎波群，谱能量转化则明显不同。在图5（b—f）中，每个波群均给出两次破碎前后的能量谱信息，其中红色实心圆代表第一次即将发生破碎位置的能量谱，红色空心圆代表第一次破碎发生后位置的能量谱；
类似地，绿色实心方形代表第二次即将发生破碎位置的能量谱，绿色空心方形代表第二次破碎发生后位置的能量谱。

图5 波浪传播过程能量谱变化Fig.5 Variation of energy spectra during wave propagation

通过比较波群两次破碎发生前后1.6～2.5 Hz频率区间能量谱变化可知，当波浪破碎后，该部分能量明显减小。以WG6b为例，在图5（f）中，当波浪演化至x=15.9 m 处，波浪达到局部波面升高最大值，即将发生破碎，此时二倍频周围集聚较多能量；
当破碎发生后，在破碎点下游位置x=16.9 m 处灰色区域中能量明显下降。同样，在第二次破碎即将发生位置x=19.9 m 处，该区域能量再次增加；
经过破碎后，在x=20.9 m 处，1.6～2.5 Hz 频率范围内再次出现明显能量下降，说明破碎引起的能耗主要集中在该频段。

此外，由图5中破碎波群能量谱变化还可见，谱峰部分也出现明显能量下降，但该区域能量变化是由波浪长距离演化所引起，而破碎并没有立即对谱峰成分造成明显影响[2]，这与Tian等[3]对色散聚焦波群的分析结果相同；
同时，通过比较破碎前后谱信息可知，主频部分出现轻微变化，但该变化很大程度上依赖于黏性和能量重新分布[3,14]，破碎对其影响较小。

由以上分析可知，当波浪演化至破碎上游、破碎区间以及破碎下游时，波浪呈现明显非线性特征变化，如频带宽的增大与减小、能量的转移、主频上移或下移等。但从以上傅里叶和小波能量谱分析中只能获得能量在频域（或时频域）上的分布情况，而在波浪演化过程中，尚未明确具体波浪成分间所发生的相位耦合作用，因此需要采用更高阶谱对其进行分析。

本研究采用小波二阶相干谱方法对波浪间相互作用进行分析，进一步讨论波群演化过程中参与非线性相互作用的频率成分信息。根据公式(10)，在小波二阶相干谱中，b2(f1,f2)是介于0～1 之间的数值，用彩色进度条表示数值大小，数值越大，表示f1和f2波浪成分之间的相互作用程度越强。综合实验波群分析结果发现，实验波群小波二阶相干谱b2(f1,f2)沿程演化情况相似，因此，仍以WG6b 波况为例，对波群演化过程中成分间相位耦合情况进行分析，其小波二阶相干谱分析结果见图6，对应测点位置与图4相同。

图6 波群WG6b小波二阶相干谱演化Fig.6 Evolution of wavelet-based bicoherence spectra for wave group WG6b

在初始测点x=4.9 m 处，b2(1,1)=0.6，说明波浪成分主要集中在主波自身之间非线性相互作用上。随着波浪传播，波浪成分间相互作用明显增强，在x=13.9 m 处，b2(1,1)=0.73，说明主频间相互作用向二倍频转移能量的影响增强，该结果从图4 中x=13.9 m 处小波谱可明显看出。此外，在x=13.9 m 处，b2(0.68,1.57)=0.66，说明0.68 Hz 和1.57 Hz 波成分相互作用向2.25 Hz 波浪成分转移能量。当波浪达到首次即将破碎位置x=15.9 m 处，参与到非线性作用的频率成分越来越多，根据小波二阶相干谱可知，b2(1,1)=0.6，说明主频之间作用稍有减弱；
同时，b2(0.67,1.63)=0.69，说明0.67和1.63 Hz波浪相互作用向2.3 Hz 波浪转移能量，由图4 可验证。当波浪发生破碎后，由x=16.9 m 处小波二阶相干谱可见，b2(1,1)=0.41，说明波浪主频之间相互作用减小。根据图5可知，破碎能耗主要集中在高频1.6～2.5 Hz区间，因此破碎发生后该区域能量应减小。然而b2(0.74,1.57)=0.7，说明有能量向2.31 Hz频率成分转移，因此即使破碎发生，2.31 Hz 的波浪仍具有明显能量，由图4可验证。

随着波浪继续传播，当达到第二次破碎前（x=18.9 m）时，b2(1,1)=0.49，表示主频之间相互作用重新开始增加，与此同时，b2(1.09,1.35)=0.77、b2(0.67,1.63)=0.75 和b2(0.74,1.57)=0.78，说明多个频率成分参与到非线性作用中，能量由1.09、1.35、0.67、1.63、0.74 和1.57 Hz 成分逐渐向2.44、2.30 Hz转移，可由图4 中对应小波谱验证。在二次即将破碎位置x=19.9 m 处，根据小波二阶相干谱可知，参与到波浪间相互作用的频率成分再次增多，整体变化趋势与首次破碎x=15.9 m 处情况类似。但由于受首次破碎影响，在二次破碎处，参与相位耦合作用的频率成分有所不同，如b2(0.87,1.23)=0.75 和b2(1.14,1.7)=0.66的出现使得能量向2.1和2.84 Hz进行转移。第二次破碎发生后（x=20.9 m），b2(1,1)=0.52，说明主波自作用开始增加，b2(0.87,1.23)=0.61，说明破碎后0.87和1.23 Hz频率成分相互作用程度较x=15.9 m 处（即将破碎时）有所减小，由图4 可见，2.1 Hz 能量明显减小。与此同时，参与波浪成分间相互作用的频率成分也开始减少。

随着波浪经过整个破碎区域后，在破碎区域下游（如x=34.9 m）的演化过程中，波浪非线性减小，参与相位耦合作用的频率成分明显减少，直至传播到水槽末端（x=46.4 m），除主波自作用以外，其他波浪成分之间相位耦合作用均明显减弱，甚至为零，说明波浪在该区域传播中处在解聚焦状态。

以上对波群非线性能量特征进行了分析，讨论了波浪成分相位耦合作用对能量变化的影响和贡献。通过比较破碎前后傅里叶频谱变化可知，破碎主要损耗1.6～2.5 Hz 波浪成分能量。该频率区间与Tian 等[3]分析结果几乎一致，且包含在Meza 等[2]所给出的1.2～2.5 倍主频范围内，但与Rapp 等[1]所给出的1～2倍主频范围略有不同。

产生破碎能耗区间不同的原因可能与聚集机制或频带宽有关，在Rapp 等[1]中，波群频宽较大，聚焦机制主要为色散作用，在聚焦过程中，高频能量增长主要体现在初始输入的高阶谐波项上。而在Tian 等[3]研究中，虽也采用色散聚焦方式产生瞬时大波，但因频带宽较窄，在波浪演化过程中，明显出现调制不稳定非线性作用，使得大于1.5 倍主频的高频成份呈现明显的非线性能量转移，该现象在Baldock 等[15]实验分析中也已提出。本研究波群频带宽较小，瞬时大波生成机制主要为调制不稳定作用。根据图5 可知，在波浪聚焦过程中，大于1.5 倍主频波浪成分确实出现明显能量增加，结合图3 中谱宽演化信息可得，在达到初始破碎点处，谱宽已增长至初始值2 倍左右，说明调制不稳定在窄带波群演化中作用强烈。由此可知，聚焦机制或频带宽对波浪能量变化程度和范围可能存在依赖关系，但因本实验波况有限，因此，该内容需在未来工作中进行拓展分析。

通过分析波浪成分非线性作用对能量变化影响可知，波浪在聚焦过程中，参与非线性相位耦合作用的波浪成分越来越多，包括基本频率、基本频率的倍频和差频、三阶非线性作用生成的新波浪成分等。除此之外，当波浪发生破碎后，约束波也将被释放，参与到相互作用过程的波浪成分将更加复杂。通过小波二阶相干谱可确定参与二阶相位耦合作用的波浪成分频率，但难以辨明该频率成分的来源。因此，本研究阐明高斯波群破碎前后能量增长和损耗的波浪成分，指出破碎过程中参与非线性相位耦合的波浪频率。但针对参与非线性相位耦合的特定波浪成分的来源尚不能确定，还需开展进一步研究。

本研究采用实验手段，对波群演化过程中能量变化进行分析。结合波群傅里叶能量谱、小波能量谱和小波二阶相干谱演化情况，分析波群演化过程中波浪成分相互作用对波能变化的本质影响。研究结论如下：

1）通过分析谱加权频率fs和谱宽参数ν可知，在聚焦过程中，波浪能量整体向高频部分转移，谱宽增加；
随着破碎发生，整体能量偏向低频，同时综合三阶非线性影响产生的自由波和破碎释放的约束波作用使得谱宽在整个破碎区间维持增长状态，直至破碎不再发生后，谱宽开始缓慢下降。

2）结合小波谱和傅里叶频谱分析结果可知，随着波浪趋近破碎点，高频能量明显增加；
当破碎发生后，破碎能耗主要源于1.6～2.5 Hz 范围波浪成分，并采用破碎前后傅里叶能量谱变化对此进行了验证。

3）通过分析波群小波二阶相干谱演化过程可知，随着波浪演化，越来越多波浪成分参与到二阶相位耦合作用中，进而高频能量明显增加。随着破碎发生，参与相互作用的波浪数量开始减小。在破碎区域下游，除了主波自身作用以外，其他波浪间相位耦合作用较弱，波浪处在松弛演化状态。

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