基于ARIMA-TGM组合模型的边坡变形预测
时间：2023-01-17 22:10:05 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
冯杭华
（1.浙江华东测绘与工程安全技术有限公司，浙江 杭州 310014）
目前监测数据分析的方法主要包括回归分析法[1]（双曲线法、指数曲线法等）、灰色系统[2]、时间序列分析法[3]、遗传算法[4]、人工神经网络[5]、卡尔曼滤波[6]等方法。其中时间序列分析是通过建立合适的数学模型，拟合时间序列，并完成预测功能。ARIMA模型就是这一类的典型代表，被广泛应用到建筑物沉降预测[7]、基坑沉降监测[8]和桥梁变形监测[9]等领域。胡波[10]等利用ARIMA模型对边坡观测数据组成的时间序列进行分析研究，验证ARIMA模型预测边坡变形的可行性。GM(1，1)模型作为灰色系统的核心，同样被广泛应用于各个领域[11-14]，但该模型具有一定的局限性。张仪萍[15-16]等在GM(1，1)模型基础上用多项式逼近模型中的参数，采用最小二乘法确定多项式中的待定系数，构建时变参数GM(1，1)模型。杨柳[17]等将时变参数GM(1，1)模型运用到边坡位移预测分析并且取得很好的效果。
本文的主要内容利用权系数将ARIMA模型和时变参数GM（1，1）模型相结合形成组合模型，简称ARIMA-TGM组合模型。结合边坡位移实测数据进行分析预测，将预测结果和ARIMA模型与时变参数GM（1，1）模型二者的预测结果对比，验证ARIMA-TGM组合模型在边坡位移变形监测中的可行性和优越性。
1.1 ARIMA模型
求和自回归移动平均模型（ARIMA模型）是一种被广泛应用的时间序列预测模型，该模型具有完备的数学理论基础，且算法效率高，易于实现。ARIMA模型来自于自回归滑动混合模型（ARMA模型），ARMA模型包括自回归模型（AR模型）和滑动平均模型（MA模型）两大部分。
运用ARMA模型的前提是原始序列必须为平稳的，当原始序列存在趋势性和周期性时ARMA模型不再适用时，针对非平稳的时间序列ARIMA模型应运而生。ARIMA模型主要思想是先将一个非平稳序列时间序列{Yt}，经过d次差分Wt=∇dYt得到一个平稳的时间序列{Wt}，然后运用ARMA模型对平稳的时间序列{Wt}进行分析预测。则称{Yt}为求和自回归滑动平均模型，即ARIMA（p，d，q）模型，其计算流程如图1所示。
图1 ARIMA模型计算流程图
1.2 时变参数GM(1，1)模型
设x(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))为已知的非负初始数据序列，一次累加生成序列为X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中
GM（1，1）模型微分方程为：
式中，z(1)(t)=0.5×x(1)(t)+0.5×x(1)(t-1)。
传统GM(1，1)模型的白化微分方程中参数a，b假定为固定常数，这样不符合现实情况，王金柱[18]假定参数a，b也是关于时间的函数时，建立了时变参数GM（1，1）模型，具体建模步骤如下：
1）模型的建立，时变参数模型微分方程为：
白化方程为：
式中，a(t)和b(t)为所要求解的时变参数，可用以下多项式逼近。
则有：
为使s取最小值，对式（6）进行全微分。
将式（5）代入式（4）并展开为矩阵形式可得：
式中，Y=(x(0)(2)，…，x(0)(n))T，B=(a0，ap，b0，bq)T。
根据最小二乘法，可得式（8）的解为：
2）时变参数模型的求解，将式（4）中的x(1)(t)用紧邻均值生成代替，可解得微分方程的通解。
并且令初始条件x(1)(1)=x(1)(0)得到c=x(0)(1)。
根据复合梯形积分得式（10）的离散化形式。
式中，当t＜n时，结果为模型的拟合值；
当t＞n时，
所求的结果为模型的预测值[17]，对作一阶累减得到拟合预测数据序列。
3）多项式次数的确定。时变参数模型中多项式次数p、q的最佳取值根据原始实测值与模型拟合值的平均拟合相对误差达到最小值来确定[16]。
1.3 ARIMA-TGM组合模型
本文通过权系数将ARIMA模型和时变参数GM（1，1）模型相结合。采用取方差倒数的方法求解权系数的大小，它的主要思想是为了使组合预测模型的误差平方和尽可能地小，对误差平方和较小的模型赋予较高的权系数，而对误差平方和较大的模型赋予较小的权系数[19]。
式中，ej为第j个模型的拟合误差平方和。
式中，Xt为第t期实际观测值；
Xˉtj为第t期第j种预测方法的拟合值；
先得到ARIMA模型和时变参数GM（1，1）模型的拟合值，根据式（12）和式（13）计算2种模型所对应的权系数，然后根据下式计算ARIMA-TGM组合模型的拟合预测值。
孔口边坡的位移监测数据，监测数据自2010-07-05～2013-02-05，以10 d为一周期，一共32期监测数据，分别使用ARIMA模型、时变参数GM（1，1）模型和ARIMA-TGM组合模型对前20期的位移监测数据进行拟合建模，并预测后12期的边坡位移变化量。前20周期的实测值见表1。
表1 边坡位移监测的前20周期实测值
2.1 ARIMA模型预测
ARIMA模型预测过程主要分为以下4步：
1）原始序列平稳性检验。本文先通过观察位移变化曲线，然后再采用ADF单位根检验法进行平稳性检验。由图2所得原始时间序列位移值存在明显的上升趋势，再经过ADF检验发现检验统计量远大于1%、5%、10%显著水平下的临界值，并且p为0.938远大于0.05，所以可以确定原始序列为非平稳序列，需要进行平稳化处理。首先取d=1进行一阶差分，图3为一阶差分后的时间序列图，从图3可以看出样本数据在0附近波动，并且一阶差分后序列的ADF检验统计量为-12.386，远小于1%、5%、10%显著水平下的临界值，p的值为5.836e-08无限接近于0，因而经过一阶差分后为平稳时间序列，故d取值为1。
图2 实测位移的时间序列图
图3 一阶差分后的时间序列图
2）模型识别与定阶。通过观察差分后平稳序列的自相关函数(ACF)图和偏自相关函数(PACF)图截尾性等特征确定模型形式，并且根据自相关函数和偏自相关函数初步确定p和q的取值范围，然后再结合BIC准则进一步确定ARIMA模型的最佳阶数p、q，通过反复实验，最终确定当p=0，d=1，q=1时BIC最小值为-3.174，所以ARIMA（0,1,1）为最优模型。
3）模型参数估计与模型检验。使用极大似然估计进行参数估计，得到模型参数θ1为0.389。模型确定后，模型拟合统计R方为0.966，说明拟合效果较好。还需要对残差进行白噪声检验。检验结果Ljung-BoxQ为11.803，P值为0.812，残差检验为白噪声，自相关系数均在95%可信区间，进一步说明ARIMA（0,1,1）模型可以进行预测。
4）模型预测。利用以上确定的最优ARIMA（0,1,1）模型对后12期边坡位移进行预测，具体预测结果如表2所示。
2.2 时变参数GM(1，1)模型预测
同样使用时变参数GM（1，1）模型对边坡位移前20期的监测数据进行拟合建模，然后预测后12期的边坡位移值。时变参数GM（1，1）模型的最佳多项式次数p、q的取值不能取太大值，否则会导致矩阵出现病态现象，所以本文设定p、q的取值在0～4之间，利用matlab平台结合平均拟合相对误差达到最小原则设计搜索算法确定最佳p、q的取值，通过搜索最终确定当p值取0、q值取1时平均拟合相对误差达到最小，时变参数GM（1，1）模型可以取得很好的拟合效果。利用建立好的时变参数GM（1，1）模型对边坡后12期位移值进行预测，具体预测结果见表2。
2.3 ARIMA-TGM组合模型预测
根据边坡位移的实测值和ARIMA模型与时变参数GM(1，1)模型前20期边坡位移的拟合结果，利用式（12）、（13）求2种模型所对应的权系数，求出赋予ARIMA模型的权系数为0.738，赋予时变参数GM(1，1)模型的权系数为0.262。分别将ARIMA模型与时变参数GM(1，1)模型后12期边坡位移预测值乘以各自对应得权系数然后相加就得到ARIMA-TGM组合模型的边坡位移预测值，具体预测结果见表2。
表2 3种模型的预测结果对比
由表2可以看出，ARIMA模型的预测最小绝对误差为0.001，最大为0.828；
时变参数GM(1，1)模型的预测最小绝对误差为0.004，最大为1.188；
ARIMA-TGM组合模型的预测最小绝对误差为0.043，最大为0.741，3种模型的预测值和实际观测值都很接近，都能很好地描述边坡位移的变化趋势。
为了更加客观地对比3种预测模型的预测精度，通过计算平均绝对误差（MAE）、平均绝对百分比误差（MAPE）、和均方根误差（RMSE）3种评价指标进行模型评价，具体计算结果见表3。
表3 3种模型3种指标的计算结果
由表3可得，本文的ARIMA-TGM组合模型的MAE、MAPE和RMSE 3种精度评价指标均小于ARIMA模型和时变参数GM(1，1)模型所对应的MAE、MAPE和RMSE值，所以ARIMA-TGM组合模型的预测精度更高。
本文使用权系数将ARIMA模型和时变参数GM（1，1）模型结合形成ARIMA-TGM组合模型，分别运用3种模型对边坡位移进行拟合预测，通过计算MAE、MAPE和RMSE精度评价指标对3种模型的预测精度进行对比，结果表明ARIMA-TGM组合模型的预测精度高于单一模型的预测精度，能更加有效的对边坡监测数据进行分析和预测，对边坡稳定性评估和工程的防灾减灾具有一定的参考价值。
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