时滞依赖状态的Lurie间接控制系统的绝对稳定性
时间：2022-12-09 19:20:06 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
崔秭月，周宗福
(安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥 230601)
Lurie系统的稳定性一直是微分方程领域研究的一个热点课题。文献[1]在微分系统中引入绝对稳定性概念，在此后的几十年间，数学工作者对Lurie系统的绝对稳定性进行了比较深入的研究，取得了许多有意义的研究成果[2-5]。在许多实际系统中，都存在时滞的现象，时滞的影响往往是不能忽视的，它能影响微分系统解的性态及变化规律。
文献[6]主要考虑了非线性混合时滞的Lurie控制系统的绝对稳定性，通过划分离散时滞的区间及一些分析技巧，获得了Lurie控制系统稳定性的若干充分条件。最近，文献[7]以Lyapunov稳定性理论为基础，借助Lyapunov泛函讨论了带时滞的Lurie间接控制系统的绝对稳定问题，获得了该系统简便实用的绝对稳定判定结果。受上述研究工作的启发[8-12]，本文将研究一类时滞依赖状态的变系数Lurie间接控制系统的绝对稳定性。我们将利用Lyapunov第二方法，构造适当的Lyapunov-Krasovskii泛函(此泛函以二次型为基本构造形式，增加了一个与时滞有关的积分项)，利用矩阵的分析技巧，建立了一些新的绝对稳定性判据。本研究的特点是：所研究的Lurie系统里的时滞不仅与时间有关，还与系统的状态变量有关。
本文考虑如下时滞依赖状态的含非线性项的Lurie间接控制系统：
(1)
记F[k1,k2]={f(·)︳f(0)=0;k1σ2(t)≤σ(t)f(σ(t))≤k2σ2(t),σ(t)∈R-{0}},其中k1,k2是正的常数。
定义1 如果对任意的f(·)∈F[k1,k2],Lurie系统(1)的零解是全局渐近稳定的，则称系统(1)是绝对稳定的。
对于系统(1)，作如下假设：
(H1)存在正定矩阵P和G，使∀t∈[0,+∞)，
λmax(PA(t)+AT(t)P+G)≤-ω(t)≤-ω0<0
，
其中ω0>0为一个常数。
定理1 设(H1),(H2),(H3)成立，且设
(2)
则系统(1)绝对稳定。
证明利用矩阵P和G,作Lyapunov-Krasovskii泛函：
‖φt‖L2)。
因此，V(t,φt)满足Lyapunov定理的条件。
下面分析V(t,φt)沿系统(1)的导数：
(3)
由于渐近稳定性描述的是系统的状态变量在时间趋于+∞时的性质，故在讨论系统(1)的绝对稳定时只需要保证定理1的条件在时间t足够大时成立即可。所以前述(H3)可以改写为如下形式，即假设：
推论1 在(H1),(H2)和(H4)下，又设
(4)
则系统(1)绝对稳定。
证明由式(4)知，∃ε0>0,使得
再由(H4)得，∃T(T≥0),当t≥T时，
本文主要研究了时滞依赖状态的变系数Lurie间接控制系统的绝对稳定性问题。利用Lyapunov稳定性定理，得到判定这类Lurie间接控制系统绝对稳定的一些充分条件，拓展了已有的研究结果。时滞对系统状态变量的性态有十分重要的影响，在研究时滞微分系统的稳定性问题时，一般考虑的时滞是常数或仅与时间有关，对依赖状态变量的时滞，目前讨论不多，所以本文对带有这种时滞的系统的研究是稳定性方面的一个有意义的尝试。
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