[对初中阶段尺规作图教学的反思和建议] 初中阶段尺规作图ppt
时间：2019-04-09 03:27:51 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
尺规作图，顾名思义，是指用没有刻度的直尺和圆规作图，它起源于古希腊的数学课题.尺规作图只准使用圆规和直尺有限次，历史上关于尺规作图的著名问题较多，例如，“三等分角”、“立方倍积”、“化圆为方”和“高斯与尺规作十七边形”等等．
笔者作为青年教师在听课的过程中，不时观摩到教师讲授有关尺规作图的内容，对于尺规作图，执教的老师各有标准，课后就该内容与老师们的交流中，发现不少教师认为初中阶段涉及尺规作图的类型较少；同时，由于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课标》）中对所要掌握的尺规作图的类型和要求比以往教学大纲有所减少，特别是在中考复习阶段，教师教学中对该内容的处理“方法单一”或者干脆匆匆带过，学生只要掌握或者就是记住基本的操作方法即可，对尺规作图在教学中的作用认识不足，这个现象引起笔者的思考.尺规作图在现今的初中阶段教学中可作如何调整？调整意义在哪里？在此和大家做个探讨，谈一点自己的反思和建议．
1 应鼓励学生尺规作图方法多样化
尺规作图教学，特别是在复习阶段，对作图方法的复习只是将书本上的作图过程简单“过一遍”，学生只需理解这一方法的由来甚至就只是记住即可.其实，方法的多样意味着考虑问题的出发点的不同，所涉及的知识的也就不同.方法的不同需要学生自己动手操作，观察、大胆猜想、构思出不同于已有解决问题的画法.在构思画法的过程中，学生运用所学知识对该画法进行必要的证明.在中考复习阶段，课程内容已讲授完毕，教师通过对尺规作图问题方法的多样化，可使学生充分联系前后所学知识，并使知识得以“内化”，理解更全面和深入．
案例1 已知线段AB，作出该线段的中垂线．
教学中普遍采用分别以A、B为圆心，以大于AB2的长度为半径画圆，则此两圆的交点分别位于线段AB的上下两侧，过这两点作直线即为该线段的中垂线，如图1所示.
图1上述作法的原理在八年级即已知晓，但在中考复习阶段，教师不仅只是帮助学生复习原有作图方法的由来，还可引导学生分析原有作法，对原有作图的原理进行新的认识，从而利用前后知识间的联系，突破成法.教学中在复习处理上述案例1的问题时可以向学生提出是否可以只作出C点即可？这样可引导学生通过发现△ABC为等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质，作出∠C的角平分线，即可知道该角平分线垂直且平分线段AB.在此过程中，教师帮助学生从已有的思维定势中跳出；同时，也在一定程度上展示怎样从已解决问题的基础上“提出问题”，培养学生“问题意识”．
2 教学中对尺规作图的重视还应加强
尺规作图是问题解决的不可分割的一部分.笔者参加一堂九年级关于三角形全等判定的复习课听课过程中发现，该班（该班相当部分学生学习能力偏低）相当部分同学无法确定为什么“SSA”不能作为三角形全等判定的准则，不少同学甚至认为“SSA”可以作为三角形全等的判定准则，课后询问为什么不确定，同学反映教师对这个问题解释过为什么，要求记住，虽然给出相应的解释，但他们理解起来有困难，因而难免有类似错误在做题中出现.同时，一些关于几何命题（命题为真）的逆命题是否为真往往不易判断．
在几何教学中，针对某些这样的问题，用尺规作图很容易构造反例，而且论证直观，思路清晰，具有很强的说明力．
案例2 “SSA”不能作为三角形全等的判定准则．
如图2，在直线a上，作∠A，固定AB长度.以B点为圆心作圆弧，在a上可以有两个交点C和D，这样得到的两个三角形△ABC和△ABD有两边相等（AB=AB，BC=BD）和一个公共角（∠A），但显然这两个三角形不全等．
图2同时，应利用尺规作图对上述问题进一步深入（最好是学生发现，如果没有，则教师应引导学生将此问题解决.）.由于此处作出的∠A为锐角，那么是否∠A为直角或者钝角时“SSA”也不成立？笔者在同不少同学的交流中发现，绝大部分同学能清楚的知道在∠A为直角时，“SSA”是成立的（在中考复习阶段，最好由学生说明理由），但对于∠A为钝角，则相当多同学认为不行，其实如图2，在∠A是钝角的时候，对边BC是最大边，不可能有另外的解，即在∠A是钝角的时候，“SSA”依然成立．
案例3 直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半，逆命题不真．
上述案例来自笔者所任教的一个九年级班级，笔者在复习关于“直角三角形斜边上的中线等于其斜边的一半”的内容时，向全班同学提出“假如一个直角三角形ABC，∠BAC=90°，E是BC上一点，且AE=BC2，那么AE是否为BC边上的中线？”
一开始，大部分同学均认为上述命题是成立的，因为可用“同一法”说明这个问题，如图3所示，AD是BC边上的中线，AD=BC2，由于已知AE=BC2，所以自然有AD=AE，即E与D重合（图3）.这时笔者提出该问题同学们的做法可能有不严密的地方，如图4，三角形EDA可能是等腰三角形．
图3 图4事实上，上述问题完全可以利用尺规作图加以解决和探究，我们以D为圆心，AD为半径画一个圆，由AD=BC2可知BC正好为所画圆的直径.如图5，再以A点为圆心，AD长为半径画圆弧，圆弧与BC相交于点E，此时AE=AD=BC2，这样也就直观和明了地发现了上述命题的逆命题是假命题．
图5更进一步深入，借助尺规作图（图5），我们可引导学生直观发现上述逆命题要成立的条件是什么（发现∠ABC和∠ACB的角度大小关系或者边AB和边AC长度关系是决定逆命题是否成立的关键，这样就对“大角对大边”的认识更加直观和深入），问题得以延伸和拓展．
3 教材中尺规作图的基本类型偏少
按照《课标》所倡导的理念，教学中应强调让学生自己动手，通过翻折、度量、拼凑、类比等方法进行几何操作，那么，尺规作图正是包含这样的活动.实际教学中，尺规作图是一种“问题情境”的创设，即在某种问题条件下，由学生自己动手解决问题.学生能作出一张符合要求的图形，即使该图形较简单，也是一种具有挑战性和创造性的活动，在这个活动中，学生探索运用知识，构思作图方法，对所学知识进行直观理解，兴趣和创新精神得以培养.在几何教学中强调“观察、操作、推理”的今天，尺规作图的基本类型偏少. 案例4 给定两条相交直线和其中一条上的一个点P，用直尺和圆规作一个圆与两条直线都相切，并以P为一个切点［1］．
图6笔者曾将案例４中的问题请工作所在学校的九年级部分学生试做，结果发现绝大部分试做的同学都能构思出解决问题的办法：如图6，作出∠BAP的角平分线AD，利用切线的性质，角平分线AD上某点即为圆心.找到该点，以该点为圆心，以该点和点P两点距离为半径画圆即可.但接下来在如何确定圆心所在位置，即过点P作直线AP的垂线与角平分线AD相交时，学生们的做法出现较大差异，归纳起来，可分为以下几种典型方法：
作法1：直接利用直角三角板的刻度线与边沿的垂直关系画出垂线．
作法2：直接利用直角三角板的直角画出垂线．
作法3：直接利用量角器画出垂线．
以上三种作法中，第一种是不规范的操作方法；作法2与作法3是《课标》对垂线的画法要求.实际上此题的尺规作法属于“过直线上一点作直线的垂线”，该作法在以前的《教学大纲》上有，现在《课标》已删除.删去了基本作图类型里的“过直线上一点作直线的垂线”除了造成初中阶段尺规作图题的不纯粹，也使教学中失去了培养学生动手操作，在操作中运用所学知识，加深对知识的理解和掌握的过程．
笔者对其中部分同学加以适当点拨后（利用画线段中垂线的方法或者等腰三角形的“三线合一”性质），这部分同学均能理解并迅速利用尺规画出题目所要求的圆．
同时，还发现在案例4中有一个有趣的现象，即参加试做的同学在画出类似图6的示意图时，相当多的同学只考虑到给∠BAP作角平分线AD（可能与平时的视觉习惯有关），忽视还有一种情况（图7）.但当笔者请他们对图6再仔细看看时，所有学生都能发现这个疏漏，这便是尺规作图在教学中具有的直观明了．
图7案例5 给定一个△ABC，试用直尺和圆规作一平行于底边BC的直线DE，将△ABC的面积分为两部分，且SADE∶SDBCE=1∶3，如图8所示．
图8笔者将案例5中的题目请自己所在任教学校九年级部分同学试做，在试做过程中发现绝大部分同学在分析完题目的条件后都能准确知道DE为△ABC的中位线，但在作出这条中位线的过程发现试做此题的同学均是将边AB和边AC的中点D和E分别作出，然后连接DE．
但当笔者要求只用一个中点作出边BC的平行线时，几乎所有的同学均不能用尺规作出DE．
该作图类型属于现在《课标》中没有的内容：“过一点作已知直线的平行线”.删去这一条对教学并无多大影响，但这一条所涉及的作图原理对初中阶段，特别是八、九年级学生而言是比较容易接受的，在《课标》倡导教学应使学生“做中学”的理念下，删去这一条使得学生失去一个通过自己动手和运用所学知识解决问题的机会，比较可惜．
事实上，案例4和案例5中作图所涉及的基本原理是初中阶段几何知识中最基础，也是最重要的知识，教师可利用这些基本原理，创设较丰富的“几何问题情境”，学生运用这些基本知识，借助直尺和圆规，在作图的学习活动中不断思考问题，寻找问题解决的方法，正是一个观察、操作、验证的过程，这对于学生加深对这些知识的理解和培养严密的逻辑思维能力是有益的．
4 反思和建议
在尺规作图问题上，以往的教学大纲同现在的《课标》相比，教学大纲对几何作图的要求很高，需要掌握的类型较多，包括“直线形”、“圆”、“比例线段”、“面积”四类.在圆的部分，有作“内接圆”、“外切圆”、“旁切圆”、“弓形”等；在比例线段中有“内分”、“外分”、“定比”等；面积部分要求作“和已知正方形等积的正方形”等.其中的大多数已经不符合我们现在教学的发展，需要删减.但是，其中的第一类：关于直线形的作图类型，即以下7条：
1.作一角等于已知角；
2.已知三边或两边一夹角或两角一夹边作出三角形；
3.过已知点作已知直线的垂线；
4.过一点作已知直线的平行线；
5.平分一角；
6.作已知线段的垂直平分线；
7.分一线段为n等份.
上述7条却是应该保留的，这7条，简单、准确、实用、理性，是尺规作图的精华所在，试想，如果学生都理解以上7条作图步骤的由来，都能用圆规和直尺将其作出，那么对整个初中几何知识的组成和结构就会有个清楚的认识［2］.有了这7条，本文案例中涉及的一些问题也就迎刃而解.实际教学中，这7条学生十分容易理解和接受，也便于操作.《标准》没有1，3，4，却要求5，6，这一点值得商榷．
同时，上述7条与图形运动有密切的联系.《课标》强调图形的运动，包括平移、旋转、对称等变换，尺规作图是实现图形运动的极佳手段.从逻辑上看，尺规作图作为图形变换的一种手段是成立的［3］.比如，作一角等于已知角的操作中，先是用直尺作一条射线，再用圆规以已知角的顶点为端点，在已知角的一边上画弧截取一段线段，再在射线上截取线段，使其长度等于已知线段，其中截取的过程，实质是以射线端点为圆心，以已截取线段长为半径画弧，交射线于一点，其中射线的端点是所作的线段的一个端点，弧与射线的交点是线段的另一个端点.这里体现了线段的两种“运动”，用圆规在射线上截取线段的长度，可以看作是平移，而画弧的过程，实质是旋转变换.再如，平分一个角，使用圆规直尺可以顺利地作出来，且方法严谨缜密，这种基本的作图方法，是学生掌握图形对称的直观根据.
鉴于此，笔者认为在初中阶段的几何教学中可根据学生学习情况，创设问题情境，适时将以上7条中的某些部分引入教学，对已有的尺规作图方法进行充实和完善.同时，在教学中可采用这样的步骤：① 要求学生画出草图，假设图形已作出；② 根据图形分析画法；③ 利用尺规严格操作并写出作法；④ 对作法进行证明，某些作法来由尽可能要求学生“一法多证”.学生按照这样的步骤进行作图学习的过程，正是一个猜想、观察、操作、验证的过程，这一过程符合学生的认知特点，有助于学生养成严谨的学习习惯，培养严密的逻辑思维能力，也有利于激发学生的兴趣和创造性．
参考文献
［1］ A.H.Schoenfled. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press，1985.
［2］ 乐嗣康，崔雪芳，张奠宙.尺规作图教学的现代意义［J］.中学数学月刊，2005，（12）．
［3］ 刘芳.对尺规作图教学的三个思考［J］.中学数学杂志，2009，（10）．
