“不等式”视角下知识交汇试题的考查探究_高中不等式公式大全

时间：2019-04-02 03:12:30　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　研究表明，近年来福建省的高考数学试题，严格遵循命题依据，全面贯彻“关注交汇，注重探究，规避模式，强调应用，体现理念”的高考命题指导思想.把“交汇”作为高考试题命制与考查的主题词之一，目的在于通过在知识交汇处设置试题，全面检测学生数学知识体系，以期达到考查学生交叉、渗透、综合运用数学知识的能力.
　　《课标》在高中数学具体目标中提出“发展数学应用意识与创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断”；就“不等式”内容而言，在感受其丰富的实际背景的同时，高考试题更突显它的“工具性”和“应用性”两个基本特点，因此，从“不等式”视角来命制知识交汇考查试题，两个基本特点是命题者的关注点与出发点.
　　1 工具性特征的不等式知识交汇考查分析
　　不等式视角下知识交汇试题的工具性特征主要是指在试题的考查过程中，试题的知识载体不在不等式知识本身，但问题解决过程所采用的必要工具是不等式的知识和方法.
　　例1 （2009年高考福建卷·理14）若曲线 f xaxx=+存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.
　　f xxax b a b=++∈R，
　　ab2+的最大值和最小值.
　　试题的知识载体是函数的零点存在定理，而解决问题的突破口是让学生通过问题转化，得到的是线性规划条件下的目标函数的最值问题的不等式知识应用.
　　例3 （2010年高考湖北卷·理17）为了在夏季
　　降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.
　　某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：( )
　　0，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设( ) f x为
　　隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（Ⅰ）求k的值及( )
　　f x的表达式；利用基本不等式求最值这一基本方法.
　　2 应用性特征的不等式知识交汇考查分析
　　按照当今数学试卷的布局分析，不等式单独命题基本不很可能出现.但以不等式知识为背景设置，展示不等式知识应用的交汇试题，紧密联系数学的其他知识，重点检查学生掌握数学基本知识、基本思想方法，以考察学生综合解决问题的能力的试题倍受青睐.
　　例4 （2011年高考福建卷·理8）已知O是坐
　　A.[ 1 B.[0 C.[0 D.[ 10]?，1]，2]，2]?，
　　本题为小综合性不等式知识背景试题，只要学生有基本的向量基础知识，试题即为不等式内容中的简单线性规划中目标函数最值问题.
　　例5 （2010年高考全国卷·理8）设偶函数( )f x满足，则( )()
　　x >
　　试题背景为不等式解集的研究，但问题的解决主要依赖于函数图象与性质的认识，即本题利用不等式与函数的知识交汇，意在体现用数形结合解决问题的思想方法.
　　例6 （2010年高考福建卷·理16)设是不等式
　　ξ=ξ的分布列及其数学期望
　　Eξ.
　　试题以一元二次不等式的整数解为背景，考查的是在一元二次不等式的整数解的前提下的基本事件的统计问题，是较为简单的知识渗透综合问题.
　　3 “不等式”视角下知识交汇试题的命制思考
　　高考数学的命题立意是：积极贯彻 “在考查基础知识的同时，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查”的命题指导思想.以数学知识为依托，关注数学思想与方法，侧重考查学生的理解和应用，坚持能力立意，较为全面地考查各种能力.
　　不等式作为高考数学的知识板块之一，是数学高考命题者的一个知识依托点，理应顺应高考数学的整体立意.笔者以为，构建完整知识网络、形成完善学科的整体意识、把握学科本质的迁移与创新是命题者的基本出发点与落脚点.
　　3.1以完整知识网络为前提命制知识交汇试题
　　数学的知识板块存在着千丝万缕的联系，与不等式知识相关的知识性综合试题的命制，依赖于完整的数学知识网络作支撑，主要检测学生掌握相关知识间的联系，能在较大的知识背景中利用它们来综合地分析和解决问题，是《课标》的基本要求之一.
　　例7 （2011年高考福建卷·文21）设函数
　　( )3sincos一个动点，试确定角θ的取值范围，
　　试题命制以三角函数定义，不等式组确定的平面区域，三角函数的变换与性质研究为背景，主要考查学生是否能交叉运用基本知识.
　　3.2统筹学科的整体意识命制知识交汇试题
　　高考应该会越来越注重在知识的交汇点上合理设置一些较为综合的与不等式有关的问题，在考查数学思想方法的同时，实现“多思少算”的考查目标.
　　例8 （2010年高考福建卷·理8）设不等式组 125 D.2
　　这是以不等式组所表示的平面区域为背景的试题.若按题目的表述思考，可能学生会无从下手.命题者要求学生会利用直线对称的几何特征，整体分析图形，直接找到内到直线34距离最短的点解决问题，就是在知识的统筹中实现“多思少算”的考查目标.
　　.
　　本题是较有区分度的知识交汇问题，试题中不等式的数量关系较为隐蔽，对学生有一定的心理威慑.即使转化为一元二次不等式的恒成立问题，也要求学生对此类问题的解决（利用函数图象或分离参数等）有较完备的方法支撑，才能比较完美的解答这个问题.
　　3.3 把握学科本质迁移与创新命制知识交汇试题
　　知识和方法的习得是数学能力和素养形成的前提条件，而人在一定的实践活动中形成和发展起来的能力和素养，是否真正得到内化和巩固，从而把所学知识稳固地纳入到原有的认知结构中去，形成知识迁移和创新应用的能力，也应成为高考试题命制者的关注点.
　　例10 （2011年高考上海卷·理23）已知平面上的线段及点，在上任取一点Q，线段长 lCD=，
　　A B C D，，，是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
　　A，(0 0)B，(0 0)C，(2 0)D，
　　这是一道新颖的知识迁移性创新题，它以学生已有的距离概念和线性规划知识为背景，着力考查学生的直觉思考和思维发散的创新能力，符合《课标》“让学生获得更高的数学素养，并为学生进一步学习提供必要的数学准备”的课程基本理念，理应成为课标课程高考试题命制的一个落脚点.
　　我们应充分意识到，《考试说明》对试题的综合性的要求是：问题所涉及的数学知识与方法要有一定的深度和广度的综合，解答时从分析、思考到求解，需要运用所学的知识、思想和方法.
　　不等式由于其丰富的实际背景和在高中数学知识网络中的极强辐射性，具备较为合适的综合性试题的设计前提，因而，通过不等式视角在知识交汇处设置试题，既可以全面检测学生数学知识体系，实现考查学生交叉、渗透、综合运用数学知识的能力，有利于体现高考试题的选拔性功能，也能够实现《课标》的“立足基础、关注过程、突出探究、强调应用、追求‘开放’与‘多样’”的教学指导思想.
　　参考文献
　　[1]杨恩彬.基于知识交汇的不等式的考查研究.福建中学数学，2010(1)：2-5
　　[2]教育部.普通高中数学课程标准(实验).北京：人民教育出版社，2003
　　[3]福建省教育厅高考考试说明编写组.考试说明.福州:福建教育出版社，2010

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