【借助线段巧解一元一次方程的年龄问题】一元一次方程100道例题

时间：2019-01-26 03:29:25　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　一元一次方程的应用是初中数学数与代数的重要内容，也是数学教学中的一个难点。因为学生不仅要有相应的阅读能力，还要归纳概括其中的关键信息，构建一元一次方程的数学模型。因此必须教会学生分析问题的方法。而一元一次方程的应用经常会出现年龄的问题，题目的情境虽然接近学生的生活经验，但因为年龄随着时间在增长，学生经常因为对动态的分析不得法，找不到等量关系或找到错误的等量关系，导致解题错误。但如果借助线段来分析，不仅会明晰年龄的变化过程，还会将复杂的信息简单化，从而提高学生的建模能力。
　　有的年龄问题信息量比较大，学生即使多遍阅读题目也摸不着头脑，不会归纳分析。比如北师大版七年级上册196页的习题：希腊数学家丢番图(公元3―4世纪)的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过5年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中度过了4年，与世长辞了。”(1)他结婚时的年龄是多少?(2)他去世时的年龄是多少?教材编写者的意图是想通过数学家特别的墓碑激发学生的兴趣和好奇心，从而激发学生热爱数学的情感和主动的自我发展的愿望。可读完题目后，学生一脸茫然，竟然还有学生恨恨地说：“什么数学家，真讨厌，死后还留下个题目害人。”让我惊讶的是竟然有大部分学生附合。看孩子们的表现，不是故意的，而是数学学习中受挫的真实心情。如果这个题目找不到好的解决方法，让学生豁然开朗，会给他们以后的数学学习留下很大的阴影，打击他们学习数学的热情和信心。面对他们的抱怨，我微笑着说：“这个题目确实有点难，不过我有个好方法大家可以试试，很快就可以解决。”学生很期待，我在黑板上画了一条线段作为丢番图的年龄x岁，然后，按照题目的每一句话，在线段上标注年龄段。如图1所示：
　　
　　复杂的题目信息都被归纳到了一条线段上，学生一目了然，很快找到了等量关系，列出了方程。刚才对这个题目的深恶痛绝全没有了影子，满脸的欢喜，嚷嚷着：“原来就这么简单啊!我们刚才怎么没有想到啊?”我也释然，满脸的轻松，一条线段就可以让孩子的情绪变化这么快!由此可见，借助线段可以将抽象的年龄段具体化，可以将变化的年龄静止化，可以将复杂的信息简单化，从而帮助学生更好的理解题目，降低寻找等量关系的难度。
　　有的年龄问题虽然信息量较少，但学生对其中的动态的变化分析不到位，或是只关注一个年龄的变化，仍然找不到正确的等量关系。比如北师大版七年级上册195页的习题：儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍?学生读完题目后，大喊简单，立刻动笔，可结果出来大部分同学的方程却是错误的。原因是学生只关注了题目中儿子的年龄变化，忽视了父亲的年龄变化，将父亲的年龄固定在40岁不变。如果采用线段来表示变化过程，就会避免产生这样的错误。在分析题目时，先画一条线段，然后设*年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，用线段表示x年，线段的两个端点分别表示今年和x年后，如图2所示：
　　
　　采用这样的线段来分析，可以很明确的表示出父子两人的年龄同时变化的情况，有助于学生找到正确的等量关系。当学生按照正确的等量关系列出方程后，解出x为-4时，有些困惑，但很快学生就明白了从今年到x年后相当于正方向，出现负数应该向负方向考虑，所以-4应该表示4年前。所以借助线段分析年龄问题，在关注所有变化的年龄的同时，还可以给学生一种正负数意义的暗示，让学生对解题的结果有恰当合理的解释。
　　有的年龄问题信息量不是很大，但涉及到的年龄关系比较复杂，学生读题后理不清思路，找不到题目信息的脉络，找不到解题的思维切入点。如这样一道题目：甲对乙说：“当我像你现在这么大时，你那时的年龄是我现在年龄的一半；当你像我现在这么大时，我们俩的年龄和是63岁。”问甲、乙两人今年各是多少岁?笔者在处理这个题目时，也是借助了线段来帮助学生理解。以甲现在的年龄x岁作为切入点，用线段的两个端点分别表示过去和将来的两个时间，中间一个点表示现在。如图3所示：
　　
　　采用这样的线段帮助学生分析，可以巧妙地将三个时间的年龄表示成线段上的三个点，避免了三个时间的混淆，而且可以直观地观察出甲和乙两人在纵向时间上的年龄差相同，在横向时间上的年龄差也相同，可以很快帮学生分析清楚甲和乙两人之间的年龄关系，帮助学生理清解题的脉络，找到正确的等量关系，建立正确的方程。如利用纵向时间上的年龄差，即甲现在的年龄与过去的年龄差等于乙现在的年龄与过去的年龄差，可得方程：x(3x-63)=x-(63-2x)-1/2x。利用横向时间上的年龄差，即过去甲和乙的年龄差等于现在甲和乙的年龄差，可得方程：(3x-63)-1/2x=x-[x-(63-2x)]，不论是哪个等量关系，学生根据生活经验都很容易理解，很快列出方程，而且能体会到两个方程实质上是相通的。
　　线段作为解题的一种辅助工具，有着不可替代的巧妙作用。如果教师能够教会学生借助线段来分析一元一次方程的年龄问题，相信学生不仅会更透彻的理解题意，提高解题的正确率，节省解题时间，更会从中积累一种解决问题的方法和经验，学会关注细节，捕捉灵感，体验成功的快乐，获取学习数学的兴趣和信心。

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