立体几何辅助线规律 [添加圆中辅助线规律探秘]

时间：2018-12-24 03:20:39　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　圆中添加辅助线，常常是解决圆的有关问题的关键.但同学们在添加辅助线时，经常感到无从下手.其实其中也有规律可循.下面举例说明. 　　一、解决有关弦的问题常画弦的垂线
　　例1（青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图l所示，其中有水部分水面宽0．8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）
　　A． 0．4米 B. 0.5米 C. 0.8米 D. 1米
　　解连结OA，作ＯD⊥AB于D，交⊙Ｏ于点C．
　　设⊙O半径为r．
　　因为OD⊥AB，所以AD=BD=0.4．
　　又CD=0.2．
　　在Rt△OAD中，
　　因为OA2=AD2+OD2，
　　所以r2=0.42+（r－0.2）2．
　　解得r=0.5，所以选D．
　　二、遇到有直径时常添加直径所对的圆周角
　　例2（齐齐哈尔）如图2，⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AD是⊙Ｏ的直径，若⊙Ｏ的半径为，AC=2，则sinB的值是（）解连结CD，因为AD为⊙Ｏ直径，
　　所以∠ACD=90°．
　　因为∠B=∠ADC，
　　所以选A．
　　三、遇到有切线时常添加过切点的半径
　　例3（潍坊）如图3，已知⊙Ｏ的半径为R，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB延长线上一点，D是⊙Ｏ的切线，C是切点，连结AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）
　　解连结OC，因为DC是⊙Ｏ的切线，
　　所以CD⊥OC．因为ＯA=OC，所以∠CAB=∠ＯCA=30°，
　　所以∠DOC=60°．
　　所以ＯD=2ＯC=2R，
　　所以BD=R．所以选C．
　　四、遇到证明某一直线是圆的切线时
　　1. 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心画直线的垂线段
　　例4（黔东南州）如图4，△ABC为等腰三角形，AB=AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．
　　证明连结OD，过点O作OE⊥AC于点E．
　　因为AB切⊙O于D，所以OD⊥AB．
　　所以∠ODB=∠OEC=90°．
　　又因为O是BC的中点，
　　所以OB=OC．
　　因为AB=AC，
　　所以∠B=∠C．
　　所以△OBD≌△OCE，
　　所以OE=OD，即OE是⊙O的半径．所以AC与⊙O相切．
　　2．若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）
　　例5（仙桃）如图5，AB为⊙Ｏ的直径，D是⊙Ｏ上的一点，过点O作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD=FE．请探究FD与⊙Ｏ的位置关系，并说明理由．
　　解FD与⊙O相切，理由如下：
　　连结OD，因为OC⊥AB，
　　所以∠AOC=90°，
　　所以∠3+∠A=90°．
　　因为FE=FD，
　　所以∠1=∠2．
　　又因为∠2=∠3，
　　所以∠1=∠3．
　　又因为OA=OD，
　　所以∠A=∠4．
　　所以∠1+∠4=∠3+∠A=90°，
　　所以FD与⊙Ｏ相切．
　　五、遇到两切线相交时，常连结切点和圆心、连结圆心和两切线的交点
　　例6（临沂）如图6，AC是⊙Ｏ的直径，PA，PB是⊙Ｏ的切线，A，B为切点，AB=6．PA=5．
　　求：（1） ⊙O的半径；（2） sin∠BAC的值．
　　解（1）连结PO，OB．设PO交AB于D．
　　因为PA，PB是⊙O的切线，所以∠PAO=∠PBO=90°，PA=PB，∠APO=∠BP0．
　　所以AD=BD=3，PO⊥AB．
　　六、遇到两圆相交时常画公共弦
　　例7（盐城模拟）如图7，⊙Ｏ1和⊙Ｏ2相交于A，B两点，CD是过点A的割线，交⊙Ｏ1于点C，交⊙Ｏ2于点D，BE是⊙Ｏ2的弦交⊙Ｏ1于F．
　　求证：DE//CF．
　　证明连结AB．
　　因为∠ACF=∠ABF，∠ADE=∠ABF，
　　所以∠ACF=∠ADE，
　　所以DE//CF．
　　七、遇到两圆相切时常画连心线
　　例8（庆阳）如图8，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，则∠AOB=解连结OＯ′，O′A．
　　因为ＯA是⊙Ｏ′的切线.所以∠OAＯ′=90°．
　　所以∠AOO′=30°，所以∠AOB=60°．
　　八、遇到四边形的一组对角均为直角时可添加辅助圆
　　例9（荆门）如图9，在平行四边形ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
　　（1）求证：A，E，C，F四点共圆；
　　（2）设线段BD与（1）中的圆交于M，N，求证：BM=DN.
　　解连结AC，取AC中点O，连结OE，OF．
　　因为AE⊥BC，AF⊥CD，
　　所以∠AEC=∠AFC=90°．
　　所以A，E，C，F四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．
　　（2）由（1）可知，圆的直径是AC．
　　因为四边形ABCD是平行四边形，则AC，BD的交点即为圆心O．
　　所以OB=OD，OM=ON，
　　所以BM=DN．
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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