【解析中考正方形问题】中考正方形的判定

时间：2019-01-06 03:33:32　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　正方形既是一种特殊的平行四边形，又是一种特殊的矩形，还是一种特殊的菱形．在近年来的中考中，经常遇到正方形问题．解答它们，应灵活利用如下性质：　　1．正方形的对边平行，四条边都相等；
　　2．正方形的四个角都是直角；
　　3．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角且是正方形的对称轴．
　　现举例如下：
　　例1 （2009年四川省达州市中考试题）如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为?摇?摇?摇 ?摇?摇cm（结果不取近似值）．
　　分析：△PBQ周长等于PB＋PQ＋BQ，BQ＝1，那么应先求PB＋PQ的最小值．由点P是对角线AC上一动点，B、Q两点在对角线AC的同一边，要求PB＋PQ的最小值，应在对角线AC的另一边找一定点，使点P与该定点的距离等于PB或PQ．这样，能将PB＋PQ转化．
　　解：连接PD和QD．
　　∵ 点B和点D关于AC对称，点P在AC上，
　　∴ PD＝PB．
　　∴ PB＋PQ＝PD＋PQ≥DQ．
　　当且仅当点P是DQ与AC的交点R时，PB＋PQ可取得最小值，该最小值等于DQ的长．
　　∵ CD＝2，CQ＝1，∠DCQ＝90°,
　　∴ DQ=■=■.
　　∴ PB＋PQ的最小值为■．
　　∵ BQ＝1，
　　∴ △PBQ周长的最小值为（■+1）cm．
　　例2 （2009年福建省宁德市中考试题）如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
　　（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
　　（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．
　　分析：（1）要证明△ADG≌△ABE，关键在于证明∠DAG＝∠BAE；（2）连接FC后，作FH⊥MN于H，则△FCH有可能是等腰直角三角形，可以猜测∠FCN＝45°．
　　解：（1）
　　∵ 四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
　　∴ ∠EAG＝∠BAD＝90°．
　　∴ ∠DAG＝∠BAE．
　　∵ AD＝AB，AG＝AE，
　　∴ △ADG≌△ABE（SAS）．
　　（2）∠FCN＝45°，为说明这结论，先作FH⊥MN于H，则∠EHF＝∠ABE＝90°．
　　∵ ∠AEF＝∠ABE＝90°，
　　∴ ∠BAE＋∠AEB＝90°，∠HEF＋∠AEB＝90°．
　　∴ ∠HEF＝∠BAE．
　　又，AE＝EF，
　　∴ △EFH≌△EAB（AAS）．
　　∴ FH＝BE，EH＝AB＝BC．
　　∴ CH＝BE＝FH．
　　∴ △FCH是等腰直角三角形．
　　∴ ∠FCH＝45°，∠FCN＝45°．
　　例3 （2010年山东省青岛市中考试题）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF．
　　（1）求证：BE＝DF；
　　（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
　　分析：（1）要证明BE＝DF，只需证明Rt△ABE≌Rt△ADF．（2）依题意，OM＝OA，若能得到OE＝OF，则四边形AEMF是平行四边形．又，AE＝AF，则四边形AEMF是菱形．
　　解：（1）
　　∵ 四边形ABCD是正方形，
　　∴ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．
　　∵ AE＝AF，
　　∴ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
　　∴ BE＝DF．
　　（2）四边形AEMF是菱形．
　　∵ AC是正方形ABCD的对角线，
　　∴ ∠BCA＝∠DCA＝45°．
　　∵ BC＝DC，BE＝DF，
　　∴ CE＝CF．
　　∴ CO是等腰△CEF顶角的平分线．
　　∴ OE＝OF．
　　∵ OM＝OA，
　　∴ 四边形AEMF是平行四边形．
　　∵ AE＝AF，
　　∴ 四边形AEMF是菱形．

相关热词搜索： 正方形 中考解析

【解析中考正方形问题】中考正方形的判定

最新文章

热门文章

【解析中考正方形问题】 中考正方形的判定

最新文章

热门文章

【解析中考正方形问题】中考正方形的判定