[外表新颖,内在朴实]外表朴实内在

时间：2019-03-12 03:27:11　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　纵观2011年的高考试题，各省都出现了立意高远、背景熟悉、内涵丰富、设问通俗、解法多样的创新试题．那么创新试题到底新在哪里？有没有解决创新题的方法？本文将以分析判断型函数创新题为例予以阐述．
　　分析判断型函数创新题分为两类，一是给出命题的条件，要求判断可能（或不可能）出现的结果；二是即时定义一个概念，要求判断与此概念相关的命题的真假．这两类问题都需要同学们认真审题，充分利用数学推理进行分析和判断．
　　例1（2011年高考数学浙江卷理科第10题）设a，b，c为实数，ｆ（ｘ）＝（x+a）（x2+bx+c），g（ｘ）＝（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S=｛xｆ（ｘ）=0，x∈R｝，T=｛xｇ（ｘ）=0，x∈R｝．若S，T分别为集合S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
　　（A） S=1且T=0 （B） S=1且T=1
　　（C） S=2且T=2 （D） S=2且T=3
　　解法一：当ｆ（ｘ）=0时，可得x+a=0或x2+bx+c=0；当g（ｘ）=0时，可得ax+1=0或cx2+bx+1=0．
　　当a≠0时，方程x+a=0的实根的倒数必为方程ax+1=0的实根；当a=0时，方程x+a=0有一个解，方程ax+1=0无解．
　　当c≠0时，方程x2+bx+c=0的实根的倒数必为方程cx2+bx+1=0的实根；当c=0时，x2+bx+c=0 有两个解，而cx2+bx+1=0至多有一个解．
　　由以上分析可知，g（ｘ）的零点个数不会多于ｆ（ｘ）的零点个数，即S≥T. 选D．
　　解法二：当a≠0时，方程x+a=0的实根的倒数必为方程ax+1=0的实根；当a=0时，方程x+a=0有一个解，方程ax+1=0无解．
　　当c≠0时，由方程x2+bx+c=0与方程cx2+bx+1=0具有相同的判别式Δ=b2-4c可知在Δ0这三种情况下，两个方程的解的个数相同；当c=0时，x2+bx+c=0有两个解，而cx2+bx+1=0至多有一个解.
　　由以上分析可知，g（ｘ）的零点个数不会多于ｆ（ｘ）的零点个数，即S≥T．选D.
　　解法三：使用特殊值法求解．取a=b=c=0，则S=1且T=0，排除A；取a=-1，b=-2，c=1，则S=1且T=1，排除B；取a=-1，b=2，c=-3，则S=2且T=2，排除C．选D．
　　评注：例1考查三次函数零点的个数问题，其新意表现在以下两点：一是用集合语言描述函数的零点个数，对集合与函数进行综合考查；二是问题的答案包含了多种情况，旨在考查同学们分析问题与解决问题的能力．
　　解题时，我们可以将三次方程转化为一次方程或二次方程的乘积，通过分析ｆ（ｘ）和g（ｘ）两个函数的内在联系，得到S≥T.
　　解法一的关键是发现当c≠0时，一元二次方程x2+bx+c=0的实根的倒数必是方程cx2+bx+1=0的实根. 解法二的关键是发现当c≠0时，方程x2+bx+c=0与方程cx2+bx+1=0具有相同的判别式Δ=b2-4c. 解法三则通过取a，b，c的特殊值依次排除选项A，B，C，使问题得到解决．
　　这三种解法都体现了转化思想. 解法一和解法二还注意到a，c是否为0关系到方程的解的个数，运用了分类讨论思想. 解法三则运用了特殊化思想．
　　例2（2011年高考数学四川卷理科第16题）函数ｆ（ｘ）的定义域为A，若x1，x2∈A且ｆ（ｘ1）=ｆ（ｘ2）时总有x1=x2，则称ｆ（ｘ）为单函数．例如，函数ｆ（ｘ）=2x+1（ｘ∈R）是单函数．下列命题：①函数ｆ（ｘ）＝ｘ2（ｘ∈R）是单函数；②若ｆ（ｘ）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则ｆ（ｘ1）≠ｆ（ｘ2）；③若ｆ∶A→B为单函数，则对于任意ｂ∈B，它至多有一个原象；④函数ｆ（ｘ）在某区间上具有单调性，则ｆ（ｘ）一定是单函数．其中的真命题是．（写出所有真命题的编号）
　　解：对于①，ｆ（-2）＝ｆ（2），而-2≠2，所以①错误；对于②，由原命题与其逆否命题等价，可知②正确；对于③，若ｂ有两个原象ａ1，ａ2，则ｆ（ａ1）＝ｆ（ａ2），而ａ1≠ａ2，这与ｆ∶A→B为单函数矛盾，故③正确；对于④，题中的“某区间”并不一定是定义域，只有当“某区间”是定义域时，命题④才正确，如函数ｆ（ｘ）=ｘ2在［0，+∞）是增函数，而ｆ（ｘ）不是单函数，因此④错误．
　　综上可得，答案为②③．
　　评注：例2之新在于单函数的概念没有在高中数学教材中出现过，而是一个即时定义的概念．这是新课程高考常考的一种题型，旨在考查同学们的阅读理解能力及进一步学习的潜能．解决此类问题首先需要读懂题目，然后根据即时定义和性质，运用逻辑推理判断所给命题的真假．要肯定所给命题为真命题，常需要利用综合法、反证法、命题之间的等价性（如原命题与其逆否命题同真同假）等多种方法，例2的解法就体现了等价转化的数学思想．而要说明所给命题为假命题，只需举一个反例即可．
　　小结：由以上两题可见，命题老师将熟悉的问题改头换面，包装成外表新颖的题目，但解决问题的根本是一样的.比如，分析判断型函数创新题的解题策略是善于发现函数之间的关系，根据函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性、零点等，利用逻辑推理、等价转化、分类讨论等方法进行解答.正所谓“外表新颖，内在朴实”，只要我们找到问题的本质，解决它们并非难事．

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