【换个方位去思考――运用整体化思想解题】初一整式整体思想运用

时间：2019-01-30 03:34:56　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　这是2010年山西省的一道中考试题：如图1，直线y=kx+b交坐标轴于A（-3，0）、B（0，5）两点，则不等式　　-kx-b＜0的解集为（）　　A.x＞-3B.x＜-3
　　C.x＞3D.x＞3
　　剖析：由于直线y=kx+b过点A（-3，0）、B（0，5），可待定系数k、b，再解一元一次不等式-kx-b＜0，这是同学们通常都会采用的一种解法，解题过程也不复杂.但如果我们换个角度来思考，撇开求k、b的具体过程，也不求出具体的数值，而是从整体考虑，由于y=kx+b，所以不等式-kx-b＜0，即-y＜0，故y＞0，形数结合，由图象可知，解得x＞-3.两种解法的优劣不言而喻，这正是整体化思想解题的魅力.下面我们再举几个例子.
　　例1（2010年宁波市中考试题）若x+y=3，xy=1，则x2+y2= .
　　剖析：由已知条件解方程组，求出x、y，再代入计算，似乎很简单，但求出的x、y是无理数，计算较麻烦.如把x+y、xy当成两个新的数，由熟知的恒等变形公式x2+y2=（x+y）2-2xy，整体代入计算，得x2+y2=32-2×1=7.
　　例2（2010年南通市中考试题）设x1、x2是一元二次方程x2+4x-3=0的两个根，2x1（x■■+5x2-3）+a=2，则a=.
　　剖析：如果通过解方程求出x1、x2，也会遇到与例1相似的困境.如果揭示题中的隐含条件，由x2是方程x2+4x-3=0的根，得x■■+4x2-3=0，整体代入，这样x■■+5x2-3=x■■+4x2-3+x2=x2，已知条件转化为2x1x2+a=2，而x1・x2
　　=-3，所以a=2+6=8.
　　例3（2010年杭州市中考试题）已知直四棱柱的底面是边长为a的正方形，高为h，体积为V，表面积等于S.（1）略.（2）当V=12，S=32时，求■+■的值.
　　剖析：由题意得a2h=12；4ah+2a2=32，即（2h+a）a=16，通过解方程组，求出a、h的难度很大，不信，你去试一试.
　　转换一下思考的方向，我们要求的是代数式■+■的值，又■+■
　　=■，可有意识地寻找求值代数式与已知条件的整体联系，发现■
　　=■.整体代入，得原式=■=■.或者利用2h
　　+a=■，ah=■，整体代入，原式=■=■.
　　例4（2010年武汉市中考试题）如图2，直线y=-x+b与y轴交于点A，与双曲线y=-■x+b在第一象限交于B、C两点，且AB・AC=4，则k=.
　　剖析：寻求k与AB・AC=4之间的联系是解题的关键，直线y=-■x+b与y轴交于点A，得A（0，b）.设直线交x轴于点D，则D（■b，0），所以∠ADO=30°，作BE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，由■=cos30°，得BE
　　=■AB，即xB=■AB，同时xC=■AC，推出■AB・AC=xB・xC，由于AB・AC=4，得xB・xC=3.将已知条件整体转化为xB・xC=3，即直线与双曲线的两个交点的横坐标之积为3，解题思路顿时打开.解方程组y＝－■x+b，y＝■.消去y，得■=-■x+b，化简得■x2-bx+k=0，从而得到xB・xC=■
　　=■k，因此■k=3，得k=■.
　　例5（2009年广州市中考试题）如图3，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P.（1）略.（2）略.（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积.
　　剖析：设DE=a，DH=b，则矩形EPHD的面积为ab，寻求与已知条件的联系，在正方形ABCD中，BG=1-b，BF=1-a，由于Rt△GBF的周长为1，所以有：1-b+1-a+■=1，即■=a+b-1，希望从中求出a和b，但两个未知数只有一个方程，根本无法求出.能否将ab作为一个整体直接求出呢？这就只能寄希望于对已知条件的化简.两边平方，得(1-a)2+(1-b)2=(a+b-1)2.又(a+b-1)2=[(a+b)
　　-1]2=（a+b)2-2(a+b)+1=a2+2ab+b2-2a-2b+1，所以1-2a+a2+1-2b+b2=a2+2ab
　　+b2-2a-2b+1，化简得2ab=1，所以矩形EPHD的面积是■.
　　寻找待求值的代数式与已知条件整体间的联系是运用整体化思想解题的实质.在寻求联系的过程中，要注意对求值代数式的化简，同时也要注意对已知条件的化简，进而揭示彼此的联系.解题思路的转换，使一些似乎无法解决的问题获得了简便的解法.
　　
　　“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”

相关热词搜索：解题换个方位思考

【换个方位去思考――运用整体化思想解题】初一整式整体思想运用

最新文章

热门文章