解题的乐趣 [善用思想方法　享受解题乐趣]

时间：2019-02-06 03:25:45　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　从某种意义上说，数学习题就是提供了必要的装备，指明了具体的目标，暗示了行动路线的智力登山游戏．解数学题的过程就是利用已知条件，依据指定目标，探索隐藏的路线图并实施探险的过程．地理探险需借助指南针指示方向，在数学的解题过程中，我们也需要类似指南针的“神器”来指点迷津，数学思想方法就是数学解题中的指南针．善用数学思想方法，不仅可以减少解题成本，提高解题效率，而且有助于我们领会数学的本质，享受解题的乐趣，
　　例1如图1，在直角梯形ABCD中，AB=BC=10,△ADM为等边三角形，则△DCM和△ABM的面积之比为.
　　分析与解：设等边△ADM的边长为a, BM=b,DC＝c,则CM=10－b.作DE⊥AB于E.由勾股定理得
　　a2=c2+(10－b)2=102+b2=102+(10－c)2，
　　进而可以得到 c= 10－b.
　　到这个时候，如果我们走先求出b的值,再求出△DCM和△ABM的面积，进而求面积之比的解题路线的话，解题的成本就太高了.此时最简便的方法是运用“整体思想”，直接求得两个三角形的面积之比为(10－b)2 : 10b，再利用等量关系c2+(10－b)2=102+b2，得出关键的一步2(10－b)2=(10－b)2＋20b，从而得到答案2：1．如此解题，你将会获得犹如快刀斩乱麻般痛快淋漓的感觉。
　　例2如图2，一次函数y=kx+b的图像过点P(1,4)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于点A、B，0为坐标原点，当△AOB面积最小时，求k、b的值．
　　分析与解：由直线y=kx+b过点P(1,4)可得一次函数解析式为y=(４－b)x+ b．进而得到A（,0 ）、B（０，b）．
　　S＝・OA・OB=・・b=
　　至此，我们已无法用通过配方求二次函数的极值的办法来解决问题．这个时候就要想到运用“转化思想”来突出重围．去分母得到关于b的一元二次方程b2－2sb+8s=0 .因为这个方程有实数解，所以△＝（－2s）2 －32s=4s2－32s≥ 0，因此s≥ 8，即△AOB面积的最小值为8．由s＝8，容易求得k＝－4，b＝8．读到这里，同学们是不是有一种“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉？
　　例3已知a、b为实数，且a≥1,若关于x的方程x2－2bx－(a－2b2)=0有实数解，且满足2a2－ab2－5a+b2+4 = 0，求a2+b2的值.
　　分析与解：这道题几乎所有的同学都很容易从条件“关于x的方程x2－2bx－(a－2b2)=0有实数解”切入，由△≥0得到a≥b2的结论. 但再往下就有不少同学不知所措了.在这个时候，如果我们能够冷静地观察条件2a2－ab2－5a+b2+4 =0，结合已经得到的结论，运用放缩法消元，化方程问题为不等式问题，就能成功地破解障碍.
　　解法如下：把等式2a2－ab2－5a+b2+4 = 0变形为2a2－b2（a－1）－5a+4 = 0①，因为a≥b2，a≥1, 所以有 2a2－a（a－1）－5a+4 ≤ 0，即（a－2）2 ≤ 0，从而得到a＝2. 把a＝2代入①得b2＝2，所以a2+b2＝6.对这道题，假如没有上述思想方法的指引，我们就很可能要在“黑暗”中摸索更长的时间.如果说问题是数学的心脏的话，那么思想方法就是数学的灵魂.在平时的学习中，我们是不是应该更多地关注数学思想方法呢？
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”

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