[联想是解题的金钥匙]联想金钥匙

时间：2019-04-30 03:20:40　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　联想就是因一事物而想起与之有关事物的思想活动，联想是以观察为基础,对研究对象或问题的特点,联系已有知识经验进行想象的思维方法，这种思维方法在数学学习中非常重要.认知心理学认为，影响学生数学学习的认知变量之一就是在原认知结构中起固定作用的观念和可利用性，也就是说学生头脑中的已有知识如果与未知的数学知识建立了某种有机的非人为的联系，那么原认知结构中起固定作用的概念就会被激活，它就会主动积极地去同化新的数学知识，因而产生联想.因此联想是找到解题方法的一条重要途径，我们在平时教学中要注重培养学生联想解题能力.
　　一、相似联想
　　相似联想就是由某一事物或现象想到与它相似的其他事物或现象，进而产生某种新设想.
　　【例1】若x2+y2=a，m2+n2=b，求mx+ny的最大值.
　　解：设OA=(x,y)，OB=(m,n)，则OA?OB=mx+ny，mx+ny=OA?OB=a?bcosθ，所以mx+ny最大值为ab，
　　当xn=ym时等号成立.
　　二、接近联想
　　接近联想就是根据事物之间在空间或时间上的彼此接近进行联想，进而产生某种新设想的思维方式.
　　【例2】在数列｛an｝中,若an=2n+1,求前n项和Sn.
　　学生在求和中，利用数列中的基本元素及求和公式就可以了，
　　若用裂项法也很容易求出其前n项和.
　　略解:显然an=(n+1)2-n2.
　　则Sn=a1+a2+……+an
　　=(22-12)+(32-22)+…+(n+1)2-n2
　　=(n+1)2-1=n2+2n
　　由此联想到一般的等差数列的前项和能否也可以用这种方法解决呢？
　　则an=dn+(a1-d)
　　=d2(2n+1)+a1-32d
　　=d2［(n+1)2-n2］+a1-32d
　　∴Sn=d2［(n+1)2-1］+a1-32dn
　　=na1+n2(n-1)d.
　　类似在数列{an}中,若an=2n求数列{an}前n项的和Sn联想也可用裂项法求和.
　　解：因为an=2n=2n+1-2n,
　　所以Sn=22-2+23-22+…+2n+1-2n,
　　则Sn=2n+1-2.
　　对于等比数列前n项和的推导及记忆应用都是一个难点，根据这个特殊解法可以引领出一般的求等比数列前n项和的方法.
　　一般的,在等比数列{an}中若an=a1qn-1(q≠1)
　　则an=a1q-1(qn-qn-1),
　　∴Sn=a1+a2+…+an=a1q-1(q1-q0+q2-q1+…+qn-qn-1)
　　=a1q-1(qn-1)=a1(1-qn)1-q.
　　三、数形联想
　　数形联想就是指对于事物的数和形两个方面进行联想，从而找到正确的解题方法.
　　【例3】设
　　K=x+y2x+y(x＞0,y＞0),求K的最大值.
　　本题如果分子分母同除以y，转化为以xy整体为变量的函数，再去求此函数的最大值.对于K的形式联想到点到直线的距离公式，利用数形结合的方法来解题就比较简捷.
　　解：设直线2x0x+y0y=0(x0＞0,y0＞0)，
　　则点(22,1)到该直线的距离为d=
　　x0+y02x0+y0，
　　而点P(22,1)到直线
　　2x0x+y0y=0
　　的距离最大为OP=62，所以Kmax=62
　　四、因果联想
　　因果联想就是指对逻辑上有因果关系的事物产生的联想.
　　【例4】在等差数列{an}中，前n项的和Sn，若S2011=-2011，a1007=3，求S2012的值.
　　本题如果代公式化基本元素计算量较大，联想到Snn是等差数列，由此来解题就较方便了.
　　解：∵S2013=2013(a1+a2013)2=2013a1007,a1007=3,
　　∴S20132013=3,又∵S20112011=-1,且数列Snn是等差数列，
　　∴2S20122012=S20112011+S20132013，
　　则S20122012=1，∴S2012=2012.
　　（责任编辑黄桂坚）

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