基本不等式公式推广【一个不等式的商榷及推广】

时间：2019-04-16 03:24:05　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　在文［1］中，笔者提出了一个不等式：　　若a、b、x、y∈R+，μ、λ∈R+且μ＞λ，则　　aμxλ+bμyλ≥a+bμx+yλ（1）
　　当且仅当ax=by时等号成立.以及在文［2］中，以不等式（1）为基础拓展出的相关命题，围绕着“μ-λ=1”这个条件而展开的，受约束条件的限制，使不等式（1）及其相关命题在在应用上受到限制.现在本文对不等式（1）再进行推广，以广大它的应用范围.
　　定理1 若a、b、x、y∈R+，μ、λ∈R+且μ≥λ，则
　　aμxλ+bμyλ≥2λ－μ+1a+bμx+yλ(2)
　　当且仅当ax=by时等号成立.在证明定理1前需要如下引理：
　　引理1 若x、λ＞0，则xλ+λ-1≥λx，当且仅当x=1时等号成立.
　　引理2 若a、b∈R+，n∈N，则an+bn≥2a+b2n.
　　定理的证明：欲证明不等式（2）须证明如下式子:
　　aa+bμx+yxλ+ba+bμx+yyλ≥2λ-u+1(3)
　　设aa+b=p，ba+b=q，x+yx=γ，x+yy=s 则p+q=1， 1γ+1s=1
　　于是不等式（3）转化为：pμγλ+qμsλ≥2λ-u+1
　　由引理1知：pγμ+μ-1≥μpγ
　　两边同时除以γμ－λ得：pμγλ+μ－1γμ－λ≥μpγ1－μ－λ (4)
　　当且仅当pγ=1时等号成立.同理可得qμsλ+μ－1sμ－λ≥μqs1－μ－λ （5）
　　当且仅当qs=1时等号成立.
　　由（4）+（5）得: pμγλ+qμsλ≥μpγ1－μ－λ+μqs1－μ－λ-μ－1γμ－λ-μ－1sμ－λ=pμ－λ+qμ－λ
　　又μ≥λ，μ-λ≥0，再由引理2则pμγλ+qμsλ≥2p+q2μ－λ=2λ－μ+1 命题得证.
　　针对不等式（2）中，指数μ与λ之间的关系定量分析，同样有一些优美的结论.
　　命题1 若μ=λ时，则aμxλ+bμyλ≥2a+bμx+yλ（6）
　　下面举例说明这个不等式在分式不等式中的应用：
　　例1 已知x、y都是正数，求证yx+xy≥2.［3］
　　例2 若a1、a2、…an同号，a=∑ni=1ai，则∑ni=1ai2a－ai≥n2n－1（1982年西德数学竞赛题）.
　　例3 若0＜ai＜1（i=1,2，…，n），证明∑ni=111－ai≥n1－(a1a2…an)1n（数学通报2008年11月号问题1765）.
　　命题2 若μ=λ+1时，则aμxλ+bμyλ≥a+bμx+yλ（7）
　　值得一提的是，不等式（7）与不等式（1）有本质的一致性，它们是不等式（2）的一个特例.对于不等式（7）的例证可以参考文［1］-［2］,在此就不一一陈述.
　　命题3 若μ=λ+k（k∈N且k＞1）时，则aμxλ+bμyλ≥21－ka+bμx+yλ （8）
　　例4 若a、b、c是ΔABC的边长，2p=a+b+c，n∈N，求证：
　　anb+c+bna+c+cna+b≥23n－2pn－1（第28届IMO预选题）
　　例5 若xi、yi∈R+（i=1,2，…，n），则
　　x31y1+x32y2+…+x3nyn≥1n·(x1+x2+…+xn)3(y1+y2+…+yn)（《中等数学》1999年6期“数学奥林匹克问题”高84）.
　　例6 设ai＞0（i=1,2，…，n），k＞0，n≥3且m、n∈N,求证：
　　am1a2+a3+…+kan+am2a3+a4+…+ka1+…+amna1+a2+…kqn-1≥(a1+a2+…+an)m－1nm－2(n－2+k)［4］
　　定理2 若a、b、x、y∈R+， λ≤μ＜－1，则
　　aμxλ+bμyλ≥2λ－μ+1a+bμx+yλ（9）
　　证明：因μ＜-1，λ＜-1，令μ=－p ，λ=－q，则p＞1，q＞1
　　 aμxλ+bμyλ=a－px－q+b－py－q=xqap+yqbp≥2λ－μ+1(x+y)q(a+b)p=2－μ+λ+1(x+y)－λ(a+b)－μ=2λ－μ+1(a+b)μ(x+y)λ
　　命题成立.
　　定理3 若a、b、x、y∈R+，－1＜λ≤μ＜0，则
　　 aμxλ+bμyλ≤2λ－μ+1a+bμx+yλ （10）
　　纵观不等式（2），不难发现就不等式的条件是有一定差异的，比如指数的取值范围（－∞,－1）、（－1,0），（0,+∞）三个区间，分别满足对应的定理2、定理3和定理1，这既彰显了此不等式内在的优越性和可塑性，同时使得不等式研究更具完备性.此外，对于定理1-3、命题1-3都满足不等式在一定条件下推广更为一般化的形式.
　　推广1 若xi、yi∈R+（i=1,2，…，n），μ≥λ＞0或λ≤μ＜－1，则
　　推广2 若xi、yi∈R+（i=1,2，…，n），－1＜λ≤μ＜0，则
　　当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn时等号成立.有兴趣的读者请自行证明.
　　
　　参考文献
　　［1］赵克、赵临龙.一个分式不等式的再讨论.中学数学教学参考，2009.9.
　　［2］赵克、赵临龙.一个不等式的再思考.中学教研（数学），2010.1.
　　［3］全日制普通高级中学教科书·数学第二册（上）人民教育出版社.2005.
　　［4］王亚辉、王亚红.一个加强不等式的推广.数学通讯.2007,11

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