二次函数的6种基本图像_二次函数与四边形形状相结合的“存在性”试题解题策略

时间：2019-01-26 03:32:19　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　“存在性”问题属于探索性问题的一种，以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题是近几年中考压轴题的热点. 它以能力立意取代知识立意，立足基础，突出能力和数学思想的考查，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，有较高的区分度. 现例举近两年以二次函数为载体的四边形形状“存在性”问题评析如下.
　　
　　1 与平行四边形形状相结合的存在性问题
　　
　　如图1，要使四边形ABCD成为平行四边形，根据平行四边形的判定定理，需满足的条件：(1)AD∥BC 且AD=BC ； (2)AD=BC且AB=CD； (3)OA=OC且OB=OD；对于(1)这种需满足两个不同条件的判定方法，我们常常让其中一个条件先满足，再根据所需满足的第二个条件求解.
　　例1 (2007浙江省)如图2，抛物线y=x2-2x-3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧)，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2. (1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.
　　解 (1)令y=0，解得x1=-1或x2=3，所以A(-1，0)、B(3，0)；将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，所以C(2，-3)，所以直线AC的函数解析式是y=-x-1.
　　(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)则P、E的坐标分别为：P(x，-x-1)，E(x， x2-2x-3)，因为P点在E点的上方，PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=- x2+x+2，所以当x=12时，PE的最大值是94.
　　(3)若AF为边，则CG∥AF∥x轴，所以G(0，-3)，AF=CG=2，以A为圆心2为半径画弧交x轴于F�1、F�2，则F�1(1，0)，F�2(-3，0)；若AF为对角线，AF、CG交于点D，作CM⊥x轴，GN⊥x轴，垂足分别为M、N，所以△ACM≌△FGN，△CMD≌△FND，所以G点的纵坐标为3，FN=AM=3，所以G�1(1+7，3)、G�2(1-7，3)，因为FN=AM=3，所以F�3(4+7，0)，F�4(4-7，0)，存在4个这样的点F，分别是F�1(1，0)，F�2(-3，0)，F�3(4+，0)，F�4(4-7，0).
　　点评第(3)小题中，因为四个点能组成平行四边形的情况有多种，需分类讨论，把四个点全部找出来有一定的困难.
　　
　　2 与矩形形状相结合的存在性问题
　　
　　如图3，要使平行四边形ABCD成为矩形，根据矩形的判定定理，需满足的条件是(1)有一个角(如∠BAD)等于90°. 由勾股定理的逆定理，需满足的数量关系是AB2+AD2=BD2；(2)AC=BD；解题的常见思路是：根据所需的数量关系建立方程模型求解.
　　例2 (2006年山西)如图4，已知抛物线C�1与坐标轴的交点依次是A(-4，0)，B(-2，0)，E(0，8). (1)求抛物线C�1关于原点对称的抛物线C�2的解析式；(2)设抛物线C�1的顶点为M，抛物线C�2与x轴分别交于C，D两点(点C在点D的左侧)，顶点为N，四边形MDNA的面积为S，若点A、点D同时以每秒一个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动，与此同时，点M、点N同时以每秒两个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A点D重合为止，求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值；(4)在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由.
　　解 (1)抛物线C�2的解析式为y=-x2+6x-8，过程从略.
　　(2)易知M(-3，0)，N(3，1)，过N作NH⊥AD于H. 当运动到时刻t时，AD=2OD=8-2t，NH=1+2t. 由中心对称的性质有OA=OD，OM=ON，四边形MDNA为平行四边形，则S=2S��△ AND� =(8-2t)(1+2t)=-4t2+14t+8. 由题设知0≤t

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