2020年中考数学人教版专题复习：有理数乘法

　 2020年中考数学人教版专题复习：有理数的乘法

　一、学习目标：

　1. 理解有理数的乘法法则及其运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算．

　2. 掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化乘法运算．

　3. 能运用乘法的符号法则，判断几个有理数的符号与它们乘积的符号之间的关系．

　二、重点、难点：

　重点：会进行有理数乘法运算．

　难点：会正确运用运算律，简化运算．

　三、考点分析：

　本讲所涉及的重要考点内容是两个有理数相乘或多个有理数相乘的乘法法则，有理数的乘法法则和倒数的概念是中考命题的热点内容，在中考中单独命题的形式较少，一般和其他知识一起综合命题.

　知识梳理

　1. 有理数的乘法法则

　（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

　（2）任何数同0相乘，都得0．

　（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数．

　（4）几个数相乘，如果其中有任何一个因数为0，则积等于0．

　2. 倒数

　乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为：a× eq \f(1,a)＝1（a≠0）．就是说，a和 eq \f(1,a)互为倒数，即a是 eq \f(1,a)的倒数， eq \f(1,a)是a的倒数．注意：

　（1）0没有倒数．

　（2）求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置．

　（3）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．

　（4）倒数等于它本身的数是1和－1，不包括0．

　3. 有理数的乘法运算律

　（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．即ab＝ba．

　（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即（ab）c＝a（bc）．

　（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a（b＋c）＝ab＋ac．

　典例精析

　知识点一：有理数的乘法

　例1：计算：（1）－ eq \f(1,2)×（－ eq \f(1,3)）；（2）3 eq \f(1,3)×（－1 eq \f(1,5)）．

　思路分析：

　题意分析：本题考查有理数的乘法法则的运用．

　解题思路：（1）和（2）都是两个有理数相乘，同号两数相乘积得正，异号两数相乘积得负，再把绝对值相乘．注意：计算过程中，先把带分数化为假分数．

　解答过程：（1）－ eq \f(1,2)×（－ eq \f(1,3)）＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,6)；

　（2）3 eq \f(1,3)×（－1 eq \f(1,5)）＝－ eq \f(10,3)× eq \f(6,5)＝－4．

　解题后的思考：在运用有理数的乘法法则时，要先确定符号，再计算它们的绝对值．

　例2：计算：（1）（－7）×8×（－ eq \f(5,7)）× eq \f(1,5)；

　（2）1.6×（－1 eq \f(4,5)）×（－2.5）×（－ eq \f(3,8)）．

　思路分析：

　题意分析：本题考查的是运用有理数乘法法则解决多个有理数相乘的问题．

　解题思路：几个不等于0的数相乘，首先要确定积的符号，然后把绝对值相乘，一般地，将小数化为分数，将带分数化为假分数，这样便于约分．

　解答过程：（1）（－7）×8×（－ eq \f(5,7)）× eq \f(1,5)＝7×8× eq \f(5,7)× eq \f(1,5)＝8；

　（2）1.6×（－1 eq \f(4,5)）×（－2.5）×（－ eq \f(3,8)）＝－ eq \f(8,5)× eq \f(9,5)× eq \f(5,2)× eq \f(3,8)＝－ eq \f(27,10)．

　解题后的思考：几个有理数相乘时，先观察有没有因数0，如果有，积为0；如果没有，先确定积的符号，再确定积的绝对值．

　小结：有理数的乘法法则可以推广为：（1）几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．（2）几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．反之，如果积为零，那么至少有一个因数为零．

　知识点二：有理数的乘法运算律

　例3：计算：（1）69 eq \f(15,16)×（－8）；

　（2）（－370）×（－ eq \f(1,4)）＋0.25×24.5＋（＋5 eq \f(1,2)）× eq \f(1,4)．

　思路分析：

　题意分析：（1）题如果把带分数化成假分数，运算量较大；（2）题是加法和乘法的混合运算，每个乘法算式中都含有因数 eq \f(1,4)．

　解题思路：对于（1）可利用拆分思想，把带分数拆成一个整数与一个真分数的和，再应用乘法分配律进行运算．而拆成70－ eq \f(1,16)就比拆成69＋ eq \f(15,16)简便；对于（2），由于每个乘法算式中都有一个共同的因数 eq \f(1,4)，可逆用乘法分配律进行运算．

　解答过程：（1）原式＝（70－ eq \f(1,16)）×（－8）

　＝70×（－8）－ eq \f(1,16)×（－8）

　＝－559 eq \f(1,2)；

　（2）原式＝370× eq \f(1,4)＋ eq \f(1,4)×24.5＋5 eq \f(1,2)× eq \f(1,4)

　＝ eq \f(1,4)（370＋24.5＋5.5）

　＝ eq \f(1,4)×400

　＝100．

　解题后的思考：在计算前要认真分析题目中数据的特点，从而选用恰当的运算律来简化运算．

　小结：乘法运算律在乘法运算中的作用主要是使运算简便，提高计算速度和准确性．能否灵活、合理运用运算律是解题能力高低的具体体现．应注意在运算律中，a、b、c表示任意有理数，可以是正数、负数或0．

　知识点三：有理数乘法的综合应用

　例4：求下列各数的倒数：（1）－1 eq \f(2,3)；（2）2；（3）0.45；（4）－ eq \f(5,7)．

　思路分析：

　题意分析：根据倒数的定义求解．

　解题思路：根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是要确定与这个数的乘积为1的数．求一个整数的倒数时，可直接写成以这个数为分母，1为分子的数；求一个小数的倒数时，先把小数化成分数，再把分子、分母颠倒位置即可．

　解答过程：（1）因为－1 eq \f(2,3)＝－ eq \f(5,3)，（－ eq \f(5,3)）×（－ eq \f(3,5)）＝1，所以－1 eq \f(2,3)的倒数是－ eq \f(3,5)；

　（2）因为2× eq \f(1,2)＝1，所以2的倒数是 eq \f(1,2)；

　（3）因为0.45＝ eq \f(9,20)， eq \f(9,20)× eq \f(20,9)＝1，所以0.45的倒数是 eq \f(20,9)；

　（4）因为（－ eq \f(5,7)）×（－ eq \f(7,5)）＝1，所以－ eq \f(5,7)的倒数是－ eq \f(7,5)．

　解题后的思考：求一个数的倒数时应注意：0没有倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数，符号不变．

　例5：完成下列各题：

　（1）绝对值不大于5的所有负整数之积为__________．

　（2）绝对值不大于10的所有整数之积为__________．

　（3）若︱m︱＝3，︱n︱＝6，则︱mn︱＝__________．

　思路分析：

　题意分析：本题考查有理数的乘法与有理数的有关概念．

　解题思路：这三个小题有一个共同特点，都是求一些数的积．解决本题的关键是根据题意确定因数的情况，尤其要正确理解“不大于”、“负整数”等条件的意义．

　解答过程：（1）绝对值不大于5的所有负整数为：－5、－4、－3、－2、－1，

　它们的积为（－5）×（－4）×（－3）×（－2）×（－1）＝－120．

　（2）绝对值不大于10的所有整数，包括0在内，其积为0．

　（3）由︱m︱＝3知，m＝±3，由︱n︱＝6知n＝±6．

　因此，︱mn︱的值有以下四种情况：

　①当m＝3，n＝6时，︱mn︱＝︱3×6︱＝18；

　②当m＝3，n＝－6时，︱mn︱＝︱3×（－6）︱＝18；

　③当m＝－3，n＝6时，︱mn︱＝︱（－3）×6︱＝18；

　④当m＝－3，n＝－6时，︱mn︱＝︱（－3）×（－6）︱＝18．

　所以︱mn︱＝18．

　解题后的思考：有理数乘法可与绝对值、有理数的加减法及其他知识综合在一起进行考查，当有理数乘法与绝对值综合在一起考查时，要注意分析解的情况．

　例6：在国外留学的叔叔送给聪聪一个新奇的玩具——智能小兔子．它的新奇之处在于若第一次向正南跳一下，第二次就掉头向正北跳两下，第三次又掉头向正南跳三下，……．而且它每跳一下的距离均为20厘米．如果小兔子第一次向正南跳，那么跳完第80次后，它在起跳点的__________（填“正南”或“正北”处），距离起跳点__________米．

　思路分析：

　题意分析：这是一道关于有理数的实际应用问题．

　解题思路：我们可以规定向北为正，向南为负，第一次跳动后，（－1）×0.2＝－0.2（米），表示小兔子在起跳点正南0.2米；第二次跳动后，（＋2）×0.2＝0.4（米），－0.2＋0.4＝0.2（米），表示小兔子在起跳点正北0.2米；……．跳完第80次后，把所有数据相加，和为正则表示在正北方向，和为负则表示在正南方向．

　解答过程：根据题意可得：（－1）×0.2＋（＋2）×0.2＋（－3）×0.2＋（＋4）×0.2＋…＋（－79）×0.2＋（＋80）×0.2＝0.2×（－1＋2－3＋4－…－79＋80）＝0.2×1×40＝8（米），所以跳完第80次后，小兔子在起跳点的正北8米处．

　解题后的思考：解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．

　小结：解决有理数乘法的综合问题时，要弄清楚有理数、绝对值、倒数等相关概念．有理数的乘法是解决其他数学问题的基础，一般不会直接考查，往往和绝对值、倒数等内容相结合，或以解决实际应用、规律探究型问题的形式出现．

　提分技巧

　1. 有理数相乘时，先分析其结构特点，能用运算律解决的，尽可能使用运算律，注意确定积的符号，带分数相乘时，要把带分数化成假分数，分数与小数相乘时，要统一成分数或小数，再进行运算．

　2. 有理数的加法法则和乘法法则的比较．二者的共同点：先确定结果的符号，再确定结果的绝对值．二者的不同点：和的符号是由绝对值较大的加数的符号决定的，积的符号是由负因数的个数决定的．

　同步测试

　一、选择题

　1. 几个有理数相乘，积的符号由（ ）

　A. 正因数的个数决定 B. 负因数的个数决定

　C. 因数的个数决定 D. 负因数的大小决定

　2. 下列计算正确的是（ ）

　A. －3＋2＝1 B. ︱－2︱＝－2

　C. 3×（－3）＝－9 D. －2×（－ eq \f(1,2)）－1＝1

　3. 下列说法正确的是（ ）

　A. eq \f(1,4)和－0.25互为倒数 B. eq \f(1,4)和－4互为倒数

　C. 0.1和10互为倒数 D. 0的倒数是0

　4. 三个有理数的积为正数，和为负数，则这三个数的符号一定是（ ）

　A. 都是正数 B. 都是负数

　C. 一个负数，两个正数 D. 一个正数，两个负数

　5. 如果两个有理数的积小于零，和大于零，那么这两个有理数（ ）

　A. 符号相反 B. 符号相反，绝对值相等

　C. 符号相反，且负数的绝对值较大 D. 符号相反，且正数的绝对值较大

　*6. 若︱x－1︱＋︱y＋2︱＋︱z－3︱＝0，则（x＋1）（y－2）（z＋3）的值为（ ）

　A. 48 B. －48 C. 0 D. xyz

　*7. 下列说法正确的有（ ）

　①数a的相反数是－a，数a（a≠0）的倒数是 eq \f(1,a)；

　②任何一个有理数都有相反数，但不是任何有理数都有倒数；

　③相反数等于它本身的数是0，倒数等于它本身的数是＋1和－1；

　④若两个数互为相反数，那么这两个数的和为0；如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．

　A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

　**8. 若a.b都是有理数，则下列命题中，正确的是（ ）

　A. 若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B. 若a·b＜0，则a＜0，b＜0

　C. 若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D. 若a·b＝0，则a＝0，或b＝0

　二、填空题

　9. 计算（1－2）（2－3）（3－4）…（19－20）的积的符号为__________，因为负因数的个数为__________个．

　10. 大于－3且小于4的所有整数的积是__________．

　**11. 若︱a︱＝5，b＝－2，且ab＞0，则a＋b＝__________．

　**12. 计算1－2＋3－4＋5－6…＋2009－2010＝__________．

　三、解答题

　13. 计算：

　（1） eq \f(7,10)×（－ eq \f(3,14)）×（－ eq \f(2,9)）×（－ eq \f(1,4)）；

　（2）（－10）×（＋3）×（－ eq \f(1,2)）×（－5 eq \f(1,3)）×（＋ eq \f(4,5)）；

　14. 计算：

　（1）（－ eq \f(7,6)）×（－15）×（－ eq \f(6,7)）× eq \f(1,5)；

　（2）－ eq \f(3,4)×（8－ eq \f(4,3)－0.04）；

　（3）（－74）×（－18）＋（－24）×（－18）；

　（4）－17× eq \f(1,4)－0.47× eq \f(1,6)＋（－0.47）× eq \f(5,6)＋ eq \f(3,4)×（－17）．

　*15. 刘亮的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到市场去卖，下面是她一周送出的20筐菜的重量记录表，每筐以25kg为标准重量．

　筐数

　2

　5

　3

　4

　2

　4

　与标准重量比较（kg）

　－0.8

　＋0.6

　－0.5

　＋0.4

　＋0.5

　－0.3

　求她一周送出20筐新鲜蔬菜的总重量．

　*16. 计算：（1）（－ eq \f(1,6)）×1；（2）（－19）×（－1）；（3）（－1）×0；（4）0×1；（5）23×（－1）；（6）72×1．你能发现什么规律？

　试题答案

　一、选择题

　1. B 2. C 3. C 4. D 5. D

　6. B 解析：因为︱x－1︱＋︱y＋2︱＋︱z－3︱＝0，所以x＝1，y＝－2，z＝3，所以（x＋1）（y－2）（z＋3）＝2×（－4）×6＝－48．

　7. D 解析：这四句话都正确．

　8. D 解析：若a·b＞0，则a.b都是正数或都是负数，故A错；若a·b＜0，则a.b一个是正数，一个是负数，故B错；若a·b＝0，则a.b至少有一个为0，即a＝0或b＝0，故C错，D正确．

　二、填空题

　9. 负，19

　10. 0 解析：大于－3且小于4的所有整数中包括0．

　11. －7 解析：因为︱a︱＝5，所以a＝5或－5．因为ab＞0，所以a和b都是正数或都是负数，又因为b＝－2，所以a＝－5．所以a＋b＝－7．

　12. －1005 解析：原式＝（－1）＋（－1）＋（－1）＋…＋（－1）＝（－1）×1005＝－1005．

　三、解答题

　13. 解：（1）原式＝－（ eq \f(7,10)× eq \f(3,14)× eq \f(2,9)× eq \f(1,4)）＝－ eq \f(1,120)；（2）原式＝－10×3× eq \f(1,2)× eq \f(16,3)× eq \f(4,5)＝－64．

　14. 解：（1）原式＝－ eq \f(7,6)× eq \f(6,7)×15× eq \f(1,5)＝－3；（2）原式＝－ eq \f(3,4)×8＋ eq \f(3,4)× eq \f(4,3)＋ eq \f(3,4)×0.04＝－6＋1＋0.03＝－4.97；（3）原式＝74×18＋24×18＝18×（74＋24）＝18×98＝18×（100－2）＝1800－36＝1764；（4）原式＝（－17）×（ eq \f(1,4)＋ eq \f(3,4)）－0.47×（ eq \f(1,6)＋ eq \f(5,6)）＝－17×1－0.47×1＝－17－0.47＝－17.47．

　15. 解：20×25＋2×（－0.8）＋5×0.6＋3×（－0.5）＋4×0.4＋2×0.5＋4×（－0.3）＝501.3（kg）．

　16. 解：（1）（－ eq \f(1,6)）×1＝－ eq \f(1,6)；（2）（－19）×（－1）＝19；（3）（－1）×0＝0；（4）0×1＝0；（5）23×（－1）＝－23；（6）72×1＝72．规律：一个数乘以－1，得这个数的相反数；一个数乘以1，仍得这个数本身；零与任何数相乘都得零．