2020年中考数学人教版专题复习：一元一次方程 5

　 2020年中考数学人教版专题复习：一元一次方程

　一、学习目标：

　1. 理解去括号的理论依据，掌握去括号的方法；

　2. 理解去分母的理论依据，掌握去分母的方法；

　3. 会解较复杂的一元一次方程；

　4. 会列一元一次方程解决实际问题.

　二、重点、难点：

　重点：掌握含括号、分母的一元一次方程的解法，熟悉解方程的一般步骤．

　难点：去分母时的注意事项和一元一次方程的应用．

　三、考点分析：

　一元一次方程在中考中是必考内容，常与其他知识相结合.如果单独出题，一般考查较复杂的带分母、括号的一元一次方程的解法，或以应用题的形式出现，通常以选择题和填空题的形式进行考查.

　知识梳理

　1. 去括号

　解方程的去括号和有理数运算中的去括号相似，主要依据的是乘法分配律.应注意，在去括号时，括号前边是负因数，去掉括号后所得各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.

　2. 去分母

　一个方程中如果含有分母，可以利用等式的性质2，在方程两边都乘所有分母的最小公倍数，将分母去掉.应注意：①分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号，防止出现符号错误；②整数项不要漏乘分母的最小公倍数.

　典型例题

　知识点一：一元一次方程的解法

　例1. 解方程：（1）5x－（1－x）＝－13；

　（2）2（y－6）＝3－（4y＋8）．

　思路分析：

　题意分析：本题考查用去括号法则和移项法则解方程.

　解题思路：这两道题的解法是一样的，先去掉括号，再移项、合并同类项，最后把系数化为1，得到方程的解.

　解答过程：（1）去括号，得5x－1＋x＝－13

　移项，得5x＋x＝－13＋1

　合并同类项，得6x＝－12

　系数化为1，得x＝－2．

　（2）去括号，得2y－12＝3－4y－8

　移项，得2y＋4y＝3－8＋12

　合并同类项，得6y＝7

　系数化为1，得y＝ eq \f(7,6).

　解题后的思考：在求出方程的解之后，应自觉检查解的正误．把所求的解分别代入已知方程的左右两边，看左右两边是否相等.养成验根的习惯是非常必要的，可以帮助我们发现错误、避免错误.

　例2. 解方程：（1） eq \f(7x－1,4)＝ eq \f(5,8)；（2） eq \f(1,6)m－3＝ eq \f(9m－2,3)；（3） eq \f(y－1,5)－ eq \f(y－1,2)＝ eq \f(3,10).

　思路分析：

　题意分析：本题中每个小题都含有分母，第（2）题去分母时应注意不要漏乘整数项.

　解题思路：解这三个方程都可以通过先去分母，然后去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1这五步完成.

　解答过程：

　（1）方程两边都乘8，得 eq \f(7x－1,4)×8＝ eq \f(5,8)×8

　去分母，整理得2（7x－1）＝5

　去括号，得14x－2＝5

　移项，得14x＝5＋2

　合并同类项，得14x＝7

　系数化为1，得x＝ eq \f(1,2)．

　（2）方程两边都乘6，得 eq \f(1,6)m×6－3×6＝ eq \f(9m－2,3)×6

　去分母，整理得m－18＝2（9m－2）

　去括号，得m－18＝18m－4

　移项，得m－18m＝－4＋18

　合并同类项，得－17m＝14

　系数化为1，得m＝－ eq \f(14,17).

　（3）方程两边都乘10，得2（y－1）－5（y－1）＝3

　去括号，得2y－2－5y＋5＝3

　合并同类项，得－3y＋3＝3

　移项，得－3y＝3－3

　合并同类项，得－3y＝0

　系数化为1，得y＝0.

　解题后的思考：①解含有分母的方程去掉分母后，分子上的多项式要用括号括起来；②一般情况下，解一元一次方程主要有五个步骤，但并不是一定要经过这五个步骤.

　例3. 解方程（3x－2）－ eq \f(（3x－2）－1,2)＝2－ eq \f(（3x－2）＋2,3)．

　思路分析：

　题意分析：这个方程较为复杂，但有一个特点，（3x－2）是以一个整体出现的，除此之外不含未知数.

　解题思路：解这个方程可以把3x－2作为一个整体，看成一个未知数，不妨设为y，把原方程转化为y－ eq \f(y－1,2)＝2－ eq \f(y＋2,3).解出y，再求x.

　解答过程：设3x－2＝y，则原方程可化为：

　y－ eq \f(y－1,2)＝2－ eq \f(y＋2,3).

　解这个方程，得y＝1.

　当y＝1时，3x－2＝1，解得x＝1.

　所以原方程的解是x＝1.

　解题后的思考：上述解方程的方法可以称作换元法，这种方法可以把复杂的方程简单化，是一种非常好的数学方法．但应注意使用条件，并不是所有方程都能用这种方法.

　例4. 解方程： eq \f(3（x－1）,0.2)－2.5＝ eq \f(0.4－2x,0.5)－7.5．

　思路分析：

　题意分析：这个方程中有很多小数，应先把小数进行转化.

　解题思路：本题有两种思路，一是把小数都化为分数，再整理；二是根据分数的性质把 eq \f(3（x－1）,0.2)和 eq \f(0.4－2x,0.5)中的分母化为整数，再去分母.

　解答过程：把分母中的小数化为整数，得 eq \f(30（x－1）,2)－2.5＝ eq \f(4－20x,5)－7.5，

　去分母，得150（x－1）－25＝2（4－20x）－75，

　去括号，得150x－150－25＝8－40x－75，

　移项，得150x＋40x＝8－75＋150＋25，

　合并同类项，得190x＝108，

　系数化为1，得x＝ eq \f(54,95).

　解题后的思考：当分母是小数时，一般利用分数的基本性质，将分子、分母都扩大适当的倍数，使分母变为整数，这时应注意与解方程时的去分母区分开.

　小结：去括号解一元一次方程时，注意括号前面是负因数时要变号；去分母解一元一次方程时，注意不含分母的项也要乘所有分母的最小公倍数.

　知识点二：一元一次方程的综合应用

　例5. 如果单项式－5a4b3n－2与3a4是同类项，求n的值.

　思路分析：根据同类项的含义，即相同字母的指数分别相同来列出方程解决问题.

　解答过程：因为－5a4b3n－2与3a4是同类项，

　所以3n－2＝ eq \f(1,2)（n＋5），

　方程两边同时乘2，得6n－4＝n＋5，

　移项，得6n－n＝5＋4，

　合并同类项，得5n＝9，

　系数化为1，得n＝ eq \f(9,5)．

　所以当n＝ eq \f(9,5)时，单项式－5a4b3n－2与3a4是同类项.

　解题后的思考：利用同类项含义来列方程、解综合题是一种常见题型.

　例6. 解含绝对值的方程：（1） eq \x \le \ri(\f(x－1,4))＝3；（2）3︱2－5a︱－9＝0.

　思路分析：

　题意分析：这两个方程中都含有绝对值，要解方程必须把绝对值符号去掉，去绝对值符号时要考虑绝对值符号内的数的正负情况.

　解题思路：根据绝对值的意义解方程，（1）把 eq \f(x－1,4)看成一个整体，得到 eq \f(x－1,4)＝±3，然后把方程分类讨论，求出x的值；（2）可把2－5a看成一个整体，把－9移到方程的右边，再逐步化简求解.

　解答过程：

　（1）根据绝对值的意义，得 eq \f(x－1,4)＝±3，

　方程两边同时乘4，得x－1＝±12，

　移项，得x＝±12＋1，

　合并同类项，解得x＝13或x＝－11，

　所以原方程的解是x＝13或x＝－11.

　（2）移项得3︱2－5a︱＝9，

　方程两边同除以3，得︱2－5a︱＝3，

　根据绝对值的意义，得2－5a＝±3，

　所以2－5a＝3或2－5a＝－3，

　解这两个方程得a＝－ eq \f(1,5)或a＝1.

　所以原方程的解为a＝－ eq \f(1,5)或a＝1.

　解题后的思考：通过本例可以看出，去掉绝对值符号时，根据绝对值的意义，绝对值符号里的代数式有两个互为相反数的值，因此，含有绝对值的方程的解通常有两个.

　例7. 整理一批图书，如果由1个人单独做要花60小时.现先由一部分人用1小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

　思路分析：

　题意分析：由题意可知，1个人1小时整理 eq \f(1,60)，整个工作可分为前1小时和后两小时两个时间段完成.

　解题思路：如果设先安排整理的人数为x，则前一小时完成的工作量是x× eq \f(1,60)，后两小时完成的工作量是2×x× eq \f(1,60)＋2×15× eq \f(1,60)．这两段时间内完成的工作量之和等于1.

　解答过程：设先安排整理的人员有x人，

　则 eq \f(x,60)＋ eq \f(2x,60)＋2× eq \f(15,60)＝1，

　解得x＝10（人）

　解题后的思考：本题的相等关系是各分量之和等于总量．本题还可以将总工作量1分成x人完成的工作量和15人完成的工作量两部分．可列方程为3× eq \f(x,60)＋2× eq \f(15,60)＝1.

　例8. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底正好配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以做成一批完整的盒子？

　思路分析：

　题意分析：两个等量关系是：（1）做盒身的铁皮张数＋做盒底的铁皮张数＝190；（2）盒身个数的2倍＝盒底个数.

　解题思路：第（1）个等量关系不能用来列方程，设做盒身的铁皮张数为x，那么做盒底的铁皮张数可以用含x的式子表示出来，是190－x．用第（2）个等量关系列方程.

　解答过程：设用x张铁皮做盒身，则有（190－x）张铁皮做盒底.

　根据题意，得2×8x＝22×（190－x）

　解这个方程得x＝110

　所以，190－x＝80（张）

　答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底可以做成一批完整的盒子.

　解题后的思考：我们在生活中常常要遇到问题，这就要求我们运用数学的知识进行优化设计，方程就是一种很重要的工具.

　小结：列方程解应用题的类型很多，例8和以往的类型有所不同，它属于配套问题．配套问题一般是指一件产品由两部分组成，这两部分之间有一个搭配问题，如例8中1个盒身需要搭配2个盒底，依据这两者之间的2倍关系列方程．再如一个螺丝由一个螺栓和一个螺母组成等.

　提分技巧

　一元一次方程是最简单的方程，它的解法也比较简单，解方程的过程是一个变形整理的过程，最终要把方程整理成x＝a的形式．但应注意的是，在解方程移项时要变号，去分母时整数项不要漏乘分母的最小公倍数.

　同步测试

　一、选择题

　1. 关于x的方程a－3（x＋5）＝b（x＋2）是一元一次方程，则（ ）

　A. b＝2 B. b＝－3 C. b≠2 D. b≠－3

　2. 将方程 eq \f(x＋1,4)＝x－ eq \f(5x－1,3)去分母，正确的是（ ）

　A. 4（x＋1）＝x－3（5x－1） B. x＋1＝12x－5（5x－1）

　C. 3（x＋1）＝x－4（5x－1） D. 3（x＋1）＝12x－4（5x－1）

　3. 若 eq \f(1,2)（x－1）与 eq \f(1,3)（x＋2）的值相等，则x的值为（ ）

　A. 6 B. 7 C. 8 D. －1

　4. 方程 eq \f(x－1,3)－ eq \f(x＋2,6)＝ eq \f(4－x,2)的“解”的步骤如下，错在哪一步（ ）

　A. 2（x－1）－（x＋2）＝3（4－x）

　B. 2x－2－x＋2＝12－3x

　C. 4x＝12

　D. x＝3

　5. 下列变形正确的是（ ）

　A. 将方程 eq \f(x,0.2)＝3中的分母化成整数，得 eq \f(10x,2)＝30

　B. 将方程0.001－ eq \f(x,100)＝5去分母，得1－x＝5

　C. 将方程 eq \f(y－1,2)－ eq \f(y－2,4)＝3去分母，得2（y－1）－（y－2）＝12

　D. 将方程5%x＝2×3%变形，得5x＝200×3

　*6. 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，这个两位数加上45后，结果恰好是十位与个位数字对换后所得的两位数，则这个两位数是（ ）

　A. 16 B. 25 C. 34 D. 61

　*7. 某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，现有x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好每天生产的螺栓和螺母按1∶2配套，为求x，所列的方程应是（ ）

　A. 12x＝18（28－x） B. 2×12x＝18（28－x）

　C. 2×18x＝18（28－x） D. 12x＝2×18（28－x）

　**8. 要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水，则需蒸发掉水（ ）

　A. 8kg B. 7kg C. 6kg D. 5kg

　二、填空题

　9. 当x＝__________时，1与－ eq \f(1－x,2)互为相反数.

　10. 若方程2x＋a＝3（x＋2）－2（x＋1）的解是x＝4，则a的值为__________.

　11. 方程2（2m－1）＝3（m＋2）去括号得__________.

　12. x的三倍减去7，等于它的两倍加上5，用方程表示为__________.

　**13. 如果规定“*”的意义为a*b＝ eq \f(a＋2b,2)（其中a、b为有理数），那么方程3*x＝ eq \f(5,2)的解是x＝__________.

　**14. 在数轴上，点A表示的数是3＋x，点B表示的点是3－x，且A、B两点的距离为8，则|x|＝__________.

　三、解答题

　15. 解方程：10y＋2（7y－2）＝5（4y＋3）＋3y.

　16. 解方程：（1） eq \f(3x－1,2)＝ eq \f(4x＋2,5)－1；（2） eq \f(x,0.7)－ eq \f(0.17－0.2x,0.03)＝1.

　17. （1）解方程： eq \f(4,5)（ eq \f(5,4)x－30）＝7，下列变形最简便的是哪一个？

　甲：方程两边都乘以5，得4（ eq \f(5,4)x－30）＝35；

　乙：方程两边都除以 eq \f(4,5)，得 eq \f(5,4)x－30＝ eq \f(35,4)；

　丙：去括号，得x－24＝7；

　丁：方程整理，得 eq \f(4,5)（ eq \f(5x－120,4)）＝7.

　（2）利用上面简便的解法解方程： eq \f(3,2)[2（x－ eq \f(2,3)）＋ eq \f(4,3)]＝1.

　18. 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加．据统计，2008年10月11日到2009年2月28日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为1696万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的4倍少69万人次．在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次？

　*19. 用化肥若干千克给麦田追肥，每公顷6kg还差17kg，每公顷5kg还剩3kg，问麦田共多少公顷？共用化肥多少千克？

　解答：

　方法一：设麦田有x公顷，则应用去的化肥可用两个式子表示，一是6x－17，另一个是__________，得方程6x－17＝5x＋__________，

　解得x＝__________（公顷），

　化肥为6x－17＝__________（kg）.

　完成上述填空．

　方法二：若设共用化肥xkg，你能列出方程并求解吗？试一试？

　**20. 阅读下列材料再解方程．

　︱x＋2︱＝3，我们将x＋2视为一个整体，因为绝对值为3的数有两个，所以x＋2＝3或x＋2＝－3，解得x＝1或x＝－5，请按照上面的解法解方程：x－ eq \x \le \ri(\f(2,3)x＋1)＝1.

　试题答案

　一、选择题

　1. D 2. D 3. B 4. B 5. C

　6. A 解析：设这个两位数十位上的数字是x，则个位上的数字是7－x，根据题意列方程得10x＋（7－x）＋45＝10（7－x）＋x，解这个方程得x＝1，7－x＝6，所以这个两位数是16.

　7. B 解析：生产螺栓的个数乘2等于生产螺母的个数.

　8. A 解析：设需蒸发掉水x kg，则40×16%＝（40－x）×20%，解得，x＝8.

　二、填空题

　9. －1 10. 0 11. 4m－2＝3m＋6 12. 3x－7＝2x＋5

　13. 1 解析：根据题意3*x＝ eq \f(3＋2x,2)，即 eq \f(3＋2x,2)＝ eq \f(5,2)，解这个方程得，x＝1．

　14. 4 解析：根据题意︱（3＋x）－（3－x）︱＝8，即︱2x︱＝8，所以2︱x︱＝8，所以︱x︱＝4.另解：若3＋x＞3－x，则（3＋x）－（3－x）＝8，解得x＝4；若3－x＞3＋x，则（3－x）－（3＋x）＝8，解得x＝－4.综上所述，︱x︱＝4.

　三、解答题

　15. 解：去括号得，10y＋14y－4＝20y＋15＋3y，移项、合并同类项得，y＝19.

　16. 解：（1）去分母得5（3x－1）＝2（4x＋2）－10，解得x＝－ eq \f(1,7)；（2）整理得 eq \f(10x,7)－ eq \f(17－20x,3)＝1，解得x＝ eq \f(14,17).

　17. 解：（1）丙（2）解：去括号得3（x－ eq \f(2,3)）＋2＝1，再去括号得3x－2＋2＝1，解得x＝ eq \f(1,3).

　18. 解：设轨道交通日均客运量为x万人次，则x＋（4x－69）＝1696．解得x＝353，4x－69＝1343．答：地面公交和轨道交通日均客运量分别是1343万人次和353万人次.

　19. 解：方法一：5x＋3，3，20，103.

　方法二： eq \f(x＋17,6)＝ eq \f(x－3,5)，x＝103.

　20. 解：当 eq \f(2,3)x＋1＞0时，原方程化为x－（ eq \f(2,3)x＋1）＝1，解得x＝6，此时 eq \f(2,3)x＋1＝5＞0，符合题意；当 eq \f(2,3)x＋1＜0时，原方程化为x－（－ eq \f(2,3)x－1）＝1，解得x＝0，此时 eq \f(2,3)x＋1＜0不成立，这种情况不符合题意．所以x－ eq \x \le \ri(\f(2,3)x＋1)＝1的解是x＝6.