利用导数研究函数的零点问题
时间：2023-04-17 10:30:09 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
许卫国
(利津县高级中学)
函数零点问题是高考的热点,此类问题融合了利用导数研究函数的图像与性质、函数零点的概念、零点存在性定理以及方程的根的分布等知识,这一类问题具有较强的综合性,能考查学生的数学素养.利用导数研究函数零点通常考查函数零点的个数,求解此类问题一般借助函数的图像特征求解函数的零点个数,利用导数研究函数的单调性和极值,画出函数的大致图像,根据图像确定零点个数.反向应用体现在已知函数的零点个数,求参数的取值范围.下面介绍常用的两种方法.
分离参数法将函数f(x)零点的个数转化为方程f(x)＝0根的个数,通过变形得a＝g(x),从而转化为求解直线y＝a与y＝g(x)的图像的交点个数问题.
构造函数法通常将函数f(x)转化为两个常见的函数类型,即f(x)＝g(x)－h(x),将f(x)零点的个数转化为y＝g(x)与y＝h(x)的图像的交点个数问题.
解法1分离参数法
f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝lnx＋1＋mx.因为函数f(x)有两个极值点,所以f′(x)＝0有两个不同的根.由lnx＋1＋mx＝0,可得
又因为当x→0＋时,g(x)→＋∞;当x→＋∞时,g(x)→0－,则g(x)和y＝m的图像如图1所示.
图1
综上,－1＜m＜0,故实数m的取值范围为(－1,0).
解法2构造函数法
f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝lnx＋1＋mx.因为函数f(x)有两个极值点,所以f′(x)＝0有两个不同的根.令
g(x)＝lnx(x＞0),y＝－mx－1,
则g(x)＝lnx和y＝－mx－1的图像有两个交点.
设直线y＝－mx－1 与g(x)相切于点(x0,lnx0),又因为,所以
图2
解法1分离参数法
f(x)的定义域为(0,＋∞),函数f(x)零点的个数即方程|lnx|－kx－2＝0 根的个数.由|lnx|－kx－2＝0,得令
即问题转化为讨论g(x)和y＝k的图像的交点个数.因为
图3
综上,当k∈(－∞,－e)时,函数f(x)的零点个数为0;当时,函数f(x)的零点个数为1;当时,函数f(x)的零点个数为2;当时,函数f(x)的零点个数为3.
解法2构造函数法
f(x)的定义域为(0,＋∞),函数f(x)零点的个数即方程|lnx|－kx－2＝0 根的个数,令g(x)＝|lnx|(x＞0),y＝kx＋2,则问题转化为讨论函数g(x)和y＝kx＋2的图像的交点个数.
当x∈(0,1]时,设直线y＝kx＋2与g(x)相切于点(x1,－lnx1),所以
图4
综上,当k∈(－∞,－e)时,函数f(x)的零点个数为0;当时,函数f(x)的零点个数为1;当时,函数f(x)的零点个数为2;当时,函数f(x)的零点个数为3.
本文展示了如何利用导数解决函数零点问题,这类问题考查学生的分类讨论意识、逻辑推理能力及数学运算素养.求解过程中均使用了两种解题方法,体现了一题多解的思路,学生应注重归纳和总结,在解题中选择最优解法.此外,在绘制函数图像时,除了要考虑函数的单调性,有时还需注意使用极限,否则图像容易出错.
(完)
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