Kagome平面无穷网格上的等效电阻计算
时间：2023-03-27 11:15:03 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
石璐洁，尹鳒凯，鲁 雯，李 丹，李喜彬
(内蒙古师范大学 物理与电子信息学院，内蒙古 呼和浩特 010022)
具有周期结构的无穷大电阻网络曾是世界性难题，Krizysztof Giaro创造性地利用二维傅里叶(Fourier)变换法成功地给出了正方形网格上任意两节点之间的等效电阻[1,2]. 这种方法目前已经被推广到矩形网络[3]、三角网络[4]、六边形网络[5]等. 文献[6,7]分别研究了m×n 阶电阻网络的等效电阻，文献[8]研究了多边形电阻网络的等效电阻. 电阻网络等效电阻的研究已经取得很大进展.
Kagome结构是由三角形和正六边形规则的重复排列构成. 由于其特殊的拓扑性质，一直被凝聚态尤其是拓扑材料等领域所关注[9]. Kagome网络同样具有周期性结构，对于此种网络等效电阻的计算有助于更好地理解它的拓扑性质. 本文利用二维傅里叶变换法计算了Kagome网络结构上任意两点间的等效电阻，并利用Mathematica软件给出了数值结果.
为了方便描述此种网格结构，在Kagome平面建立如图1所示的ξη坐标系. 根据 Kagome平面临近格点的排布方式，我们将格点分类，再讨论不同的类型格点之间的等效电阻. 首先定义所有偶数构成的集合E(even)以及奇数构成的集合O(odd). 那么Kagome晶格上的格点可分为A、B、C三类：
(1)
根据这种分类方式，可以得到如下代数关系.
图1 Kagome晶格及其坐标(O1、O2为2个对称轴，r邻近格点之间电阻)
定理1：如果(i,j)∈A,，则(i+1,j)∈B, (i,j+1) ∈C；
如果(i,j)∈B，则(i+1,j)∈A， (i+1,j+1) ∈C；
如果(i,j)∈C，则(i,j+1) ∈A，(i+1,j+1) ∈B.
为了求得坐标为(a,b),(m,n)的两个节点之间的有效电阻，假设大小为I的电流从(a,b)点流入并从(m,n)点流出，那么电流可以表示为
(2)
其中δij表示克罗内克符号.
1.1 RAA类型等效电阻的计算
对于此种类型的等效电阻的计算，首先令电流从(0,0)点流入并从(m,n)∈A点流出，则电流可以表示为I(i,j)=Iδi0δj0-Iδimδjn. 由基尔霍夫电流公式[10]，分别考虑通过3类格点的电流，设(i,j)∈A,(k,l)∈B,(p,q)∈C，于是得到以下方程组：
(3)
整理得到
4V(i,j)=rIi,j+V(i-1,j)+V(i+1,j)+
V(i,j-1)+V(i,j+1),
4V(k,l)=V(k-1,l)+V(k+1,l)+
V(k-1,l+1)+V(k+1,l-1),
4V(p,q)=V(p,q-1)+V(p,q+1)+
V(p+1,q-1)+V(p-1,q+1)
(4)
设无穷远处的节点电势为零，定义电势的傅里叶变换为
(5)
则电流的傅里叶变换为
(6)
对A类格点(i,j)∈A进行傅里叶变换:
(7)
即
4F1(x,y)=Ir(1-ei(mx+ny))+2F2(x,y)cosx+
2F3(x,y)cosy
(8)
对于B类格点(k,l)∈B的傅里叶变换为
2F1(x,y)cosx+2F3(x,y)cos(x-y)
(9)
同理，对C类格点(p,q)∈C的傅里叶变换为
4F3(x,y)=2F1(x,y)cosy+
2F2(x,y)cos(x-y)
(10)
联立式(8)—式(10)，解得
(11)
可以通过对F1(x,y)在第一布里渊区上的积分得到(i,j)点的电势 (设无穷远处的节点电势为零):
(12)
于是(0,0)以及(m,n)两点的电势分别为：
(13)
(14)
那么，最终得到相对坐标为(m,n)的2个A类格点之间的等效电阻为
(15)
现在来看2个B类格点之间的电阻. 假设电流从(1,0)点流入并从(m,n)点流出，重复以上的计算过程，得到等效电阻的表达式为
(16)
事实上两个B类格点之间的电阻与2个A类格点之间的电阻彼此等价，这是因为如果(m,n)∈B，则有(m-1,n)∈A. 同理，2个C类格点之间的电阻同样与2个A类格点之间的电阻彼此等价. 因此对于2个相同类型格点之间的等效电阻，只需用式(15)计算即可，不需要再分开讨论.
1.2 RAB类型等效电阻的计算
对于此种情况，假设电流从(0,0)点流入并从(m,n)∈B点流出，则电流的表达式为Ii,j=Iδi0δj0-Iδimδjn. 此时格点电流的傅里叶变换可以表示成
(17)
重复上一节的计算过程，得到关于傅里叶变换后的变量的方程组为
4F1(x,y)=Ir+2F2(x,y)cosx+2F3(x,y)cosy,
4F2(x,y)=-Irei(mx+ny)+2F1(x,y)cosx+
2F3(x,y)cos(x-y),
4F3(x,y)=2F2(x,y)cosy+2F2(x,y)cos(x-y)
(18)
解得
(19)
(20)
利用傅里叶逆变换可以得到两点之间的等效电阻为
(21)
根据前文的分析，我们是通过X与X′的类型来求得的等效电阻，即如果X=X′则利用式(15)，如果X≠X′则利用式(21). 此为一种角度，另外一种角度则是通过m+n的奇偶性来进行分类：如果m+n=偶数则利用式(15)，如果m+n=奇数则利用式(21). 需要补充的是，对于m+n=奇数的情况，如果n为奇数，需要对m和n交换次序再利用式(21)才能求得正确的等效电阻.
对于式(15)与式(21)这2个二重积分，由于形式较为复杂，无法继续解析求解. 而利用Mathematica编写程序来计算上述积分，就可以得到2种类型下无穷Kagome格点上等效电阻的结果.表1展示了部分计算结果.
表1 Kagome网格的等效电阻(r=1)
本文探讨了Kagome平面无穷等值电阻网格任意两节点间的等效电阻问题. 针对这种特殊无穷电阻网格的特点，本文选取了恰当的坐标系，利用二维傅里叶变换，成功导出了相应的解析式，为第一布里渊区上的二重积分，并利用Mathematica软件给出了数值结果. 数值计算结果与理论数值相符，验证了本文分析的合理性. 本文所探讨内容具有一定的创新意义，对电路的教学同样具有一定的参考价值.
猜你喜欢 格点傅里叶电势 带有超二次位势无限格点上的基态行波解数学物理学报(2022年5期)2022-10-09一种电离层TEC格点预测模型空间科学学报(2021年4期)2021-08-30法国数学家、物理学家傅里叶少儿科技(2021年12期)2021-01-20同步机和异步机之磁势和电势的比较防爆电机(2020年4期)2020-12-14格点计算器数理化解题研究·综合版(2020年3期)2020-09-10场强与电势辨析及应用河北理科教学研究(2020年1期)2020-07-24双线性傅里叶乘子算子的量化加权估计数学物理学报(2019年2期)2019-05-10电势与零电势参考处的选择湖南理工学院学报（自然科学版）(2017年4期)2018-01-25任意2~k点存储器结构傅里叶处理器浙江大学学报（工学版）(2016年11期)2016-06-05格点和面积新高考·高二数学(2016年3期)2016-05-20
