基于多元Copula函数的连续梁桥整体地震易损性分析

何浩祥，程 扬，黄 磊，陈 旺，陈彦江

(北京工业大学工程抗震与结构诊治北京市重点实验室，北京 100124)

桥梁的关键构件及整体在强震作用下易发生破坏，常见现象包括桥墩支座破坏、桥台支座破坏以及桥墩发生塑性铰破坏或者脆性破坏等.与传统桥梁抗震研究方法不同，桥梁地震易损性方法是基于性能的抗震设计理念和可靠度理论，通过分析桥梁在不同幅值地震下发生破坏的超越概率来表征桥梁损伤的部位、特征及程度，从而指导桥梁抗震设计和优化.地震易损性研究方法分为理论分析法以及经验分析法[1].由于我国并未收集足够的地震信息以及结构的损伤数据，因此多采用理论分析法对结构有限元模型进行增量动力分析(incremental dynamic analysis，IDA)从而获得地震易损性曲线[2].目前的桥梁地震易损性研究大多采用单个典型构件的地震易损性曲线来表征桥梁整体的易损性曲线，但桥梁系统实际是复杂的混联体系.此外，已有研究表明：作为一个系统整体，桥梁比任何一个典型构件都更容易发生破坏[3]，因此传统易损性方法并不准确和全面.近年来，桥梁体系易损性分析的研究逐渐受到重视，Choi等[4]假定各个构件之间具有完全相关性或完全不相关性，在获得各个构件的易损性曲线之后确定了桥梁体系易损性曲线的上下界.Yang等[5]假定在桥墩、支座等各构件完全相关或不相关的情况下分别得到桥梁体系的易损性曲线.但随着桥梁关键构件数量以及失效模式的增加，这种假设并不严谨，所得的体系易损性曲线与实际易损性曲线相差较大.有鉴于此，Ramanathan等[6]通过构件需求之间的相关系数矩阵，采用蒙特卡罗抽样法模拟构件之间的相关性，从而建立结构体系的易损性曲线.钟剑等[3]利用均匀设计得到结构-地震样本对，通过协方差矩阵建立体系联合概率密度函数模型，利用蒙特卡罗抽样法得到桥梁整体易损性曲线.李立峰等[2]、庞于涛等[7]通过传统的一次界限法和二次界限法确定结构体系易损性曲线的上下界.然而，采用蒙特卡罗抽样法的前提是构件地震需求满足对数正态分布要求，且该方法计算量过大，计算效率低.何浩祥等[8]运用模糊数学中的综合评判方法，结合基于位移的支座损伤分析、基于能量的桥墩损伤分析和基于周期的整体损伤分析，建立了能够反映桥梁从细部到整体多层次损伤的多元模糊易损性分析方法，但相关的模糊隶属度及权重的确定具有主观性.

Copula函数是一种处理变量之间相关性的函数，可作为联合概率密度函数与边缘函数的连接函数，且不限制其边缘分布函数的形式[9-10].刘月飞等[11]基于Vine-Copula函数进行失效非线性相关的桥梁截面可靠性分析.宋帅等[12-13]基于离差平方和准则选择出最优Copula函数，建立桥墩-支座的桥梁体系易损性曲线，与蒙特卡罗方法进行比较后认为基于Copula函数的方法不仅可以考虑到不同构件之间的相关性，同时可避免大量抽样，提高了计算效率.

值得指出的是：以上研究多为基于Copula函数的考虑二元构件的结构体系易损性构建方法，但桥梁体系并非单纯二元构件[14].本文在考虑桥梁结构体系失效构件串、并联模式的前提下，对结构模型进行增量动力分析获得桥墩支座、桥台支座、桥墩等不同构件的易损性曲线，采用核光滑法建立不同构件的边缘分布函数，通过平方欧式距离法选择模拟效果最优的Copula函数类型并进行参数估计，描述桥墩支座、桥台支座、桥墩等不同构件之间的相关性，得到桥梁体系整体的易损性曲线，从而建立了一种基于多元Copula函数的考虑多元构件的桥梁体系易损性分析方法.

传统的桥梁易损性分析通常只将典型桥墩的曲率或位移阈值作为损伤参量，并没有考虑其他关键构件的影响.实际上，桥梁体系包含桥墩、桥墩支座、桥台支座等不同构件，对于大型复杂桥梁还包括拉索、悬索、主塔等关键构件，因此传统桥梁地震易损性分析是不全面的.有鉴于此，本文建议连续梁桥整体可等效为由桥墩、桥墩支座和桥台支座组成的串联体系.应充分考虑各组成部分的损伤特征和程度进行初步的地震易损性分析，之后再根据各组成部分之间的相关性进行综合易损性分析.下文将对各部分损伤状态评估进行探讨.

1.1 桥梁支座易损性分析

桥梁支座可以使桥梁结构周期延长，并起到增加阻尼的作用，已有的震害资料表明，在地震作用下，桥梁上部结构主梁部分多处于弹性状态，而桥墩部分则易承受较大荷载而发生塑性铰破坏，支座作为连接主梁和桥墩的主要传力构件，经常由于主梁与桥墩位移差较大或支座性能老化发生破坏.聚四氟乙烯滑板橡胶支座可以有效降低桥梁下部结构的地震响应，从而在工程上广泛应用，本文主要讨论聚四氟乙烯滑板橡胶支座的性能.使用板式双线性模型来模拟滑动支座受力特性，其临界摩擦力和初始刚度分别为Fmax=μR和K=Fmax/xy，式中，μ代表聚四氟乙烯材料与不锈钢钢板接触面之间的摩擦因数，取0.06，R为支座承受的压力，xy为初始滑移位移，一般取0.004 m.本文根据伸缩缝处碰撞的特点及针对支座破坏的研究，分别选取65、135、265、400 mm代表桥墩或桥台滑动支座的轻微破坏、中等破坏、严重破坏及完全破坏4种损伤程度，参见表1.

表1 典型桥梁构件损伤状态对应的量化指数

1.2 基于墩端曲率的易损性分析

目前用来评价桥梁结构损伤程度的损伤指标主要有以下几个类别：基于位移的损伤指标，主要包括墩端曲率、墩顶位移角、延性以及塑性铰长度；
基于刚度的损伤指标，主要包括频率(周期)变化率以及刚度退化指数；
基于能量的损伤指标，主要有等效滞回阻尼比等；
基于位移-能量的损伤指标，主要包括Park-Ang模型[15]和Kratzig模型[16].一般认为地震作用下的桥墩端部曲率最能够表征桥墩的弯曲破坏情况，可作为量化评价桥墩损伤程度的参数.对于有具体配筋构造的桥墩，可使用XTRACT等软件对桥墩钢筋、保护层混凝土、核心混凝土分别进行材料属性定义，建立桥墩截面模型，并对桥墩进行静力非线性分析，可得出该桥墩模型的弯矩-曲率曲线.桥墩的破坏等级与桥墩曲率的变化范围如表1所示.

然而，基于桥墩端部曲率或位移的损伤评估方法也有一些不足，最主要的是采用端部曲率或位移的最大值进行评价不能充分反映结构的滞回耗能特性及损伤演变过程.Park-Ang模型和Kratzig模型可以从能量和变形2个方面表征构件的损伤程度，但该模型一般仅适用于静力分析，对于结构整体的时程分析应用性较差.针对以上问题，何浩祥等[17]提出基于弹塑性耗能差率的损伤指数模型.该模型认为损伤指数为体系弹塑性变形能和理想弹性变形能的差值(弹塑性耗能差)与理想弹性变形能的比率.对于如图1所示的理想弹塑性单自由度体系，设其弹性阶段的刚度为ke，后屈服刚度系数为α，屈服力和屈服位移分别为Fy和uy.当结构处于弹塑性状态时，在位移um处的力和位移分别为Fm和um，此时延性为μm=um/uy，相应的周期为Tm.图1中，面积SOBCD为结构位移为um时实际产生的弹塑性变形能EF，面积SOAD为相应的结构理想弹性变形能EE，面积SABC为上述二者之差，即弹塑性耗能差.由以上概念提出的基于弹塑性耗能差率的损伤指数可表示为

(1)

对于在地震作用下已经进入弹塑性状态的结构动态损伤指数可表示为

(2)

式中：p为结构在地震下刚刚进入弹塑性状态下的时刻；
n为地震结束时的时刻.FFi、FE0i和FEi分别为i时刻弹塑性状态、绝对弹性状态和理想弹性状态下的基底剪力；
uFi、uE0i和uEi分别为i时刻弹塑性状态、绝对弹性状态和理想弹性状态下的顶部位移.绝对弹性状态是指结构在微幅地震下所处的纯弹性状态，理想弹性状态是指此时的结构最大弹性位移与实际结构最大弹塑性位移相一致，实际计算时需将uE0i和FE0i分别乘以调幅系数γ获得.

图1 理想弹塑性体系耗能示意图Fig.1 Energy dissipation of elastic-plastic system

基于弹塑性耗能差率的损伤指数蕴含结构恢复力特征、弹塑性变形和累积耗能等因素，机理明确，结果严格约束在0～1，能够全面准确地反映结构在地震动激励下的损伤表征.试验和数值模拟分析均表明该模型在时程分析具有较好的准确性.本文建议当采用弹塑性耗能差率进行桥墩损伤评估时，可根据表1中的损伤指数范围确定对应的桥梁损伤状态.

连续梁桥是桥梁中应用最为普遍的桥型之一，一般采用固定墩的损伤来表示桥梁整体损伤，但在实际情况下，连续梁桥自身易发生破坏的构件包括桥墩滑动支座、桥台滑动支座、桥墩墩底等，这3种构件中任一构件发生破坏均可造成桥梁整体损伤.此外，由于地震的随机性和结构的复杂性，并不能够确定在地震作用下哪一类构件最先发生破坏.此时桥梁可视为串联结构体系，即其中任一构件发生破坏，则桥梁结构整体失效.为了准确描述整体的损伤情况，本文引入Copula函数方法讨论基于三元构件的连续梁桥整体易损性分析.

由Sklar定理[18]可知，n维随机变量X=(x1,x2,…,xn)的边缘分布函数为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)，若F(x1,x2,…,xn)是连续的，则存在唯一Copula函数C满足

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(3)

式中F(x1,x2,…,xn)为随机变量x的联合分布函数.

由式(3)可得随机向量X=(x1,x2, …,xn)的联合概率密度函数为

(4)

式中pxi(xi)为边缘概率密度函数.c(u)为Copula函数的联合概率密度函数，且有

(5)

(6)

式中ui=Fi(xi)(i=1,2,…，n).u=(u1,u2,…,un).在求得边缘分布函数之后可以构造出相应的联合概率密度函数.通过概率积分变换可知随机变量Ui=Fxi(Xi)，i=1,2,…,n,U=(U1,U2,…,Un).因此，式(6)可以进一步改写为

(7)

由式(3)～(7)可知，Copula函数是将多元随机变量的联合概率密度函数与各变量间的边缘概率密度函数联系起来，并考虑各变量之间的相关性，使多元随机变量建模过程更加简化.

对于三元串联体系，不同单元失效模式的功能函数为

gi(X)=gi(X1,X2,…,Xn)≤0，i=1,2

(8)

将式(8)代入式(7)，可得在三元串联结构体系中，3种失效模式同时发生的概率为

P(g1(X)≤0,g2(X)≤0,g3(X)≤0)=P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0))+P(Fg2(g2(X))≤Fg2(0))+P(Fg3(g3(X))≤Fg3(0))+P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg2(g2(X))≤Fg2(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))-P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg2(g2(X))≤Fg2(0))-P(Fg1(g1(X))≤Fg1(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))-P(Fg2(g2(X))≤Fg2(0),Fg3(g3(X))≤Fg3(0))=Pfg1+Pfg2+Pfg3+C(Pfg1,Pfg2,Pfg3)-C(Pfg1,Pfg2)-C(Pfg1,Pfg3)-C(Pfg2,Pfg3)

(9)

式中：Pfg1、Pfg2、Pfg3表示3种超越概率；
C表示三元Copula函数.目前对于二元Copula的求解较为简便，但对于三元甚至多元Copula函数的求解并没有明确的方案，为了方便求解三元Copula函数值，本文通过条件概率函数并引入截断函数[19]的概念对三元函数进行构造求解.

由上述多元Copula定义可得，假如n维随机向量的边缘分布函数为连续的一元分布函数，那么C(u1,u2,…，un)的边缘分布是服从[0,1]均匀分布的多元分布函数.根据条件概率原理可得，一个n维的联合概率密度分布函数可以用n个条件概率的乘积来表示.可建立

(10)

式中

当变量个数n>2时，可用2个条件事件的乘积来表示条件概率，即

(11)

一般情况下，条件概率可表示为

(12)

(13)

(14)

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联合分布函数的边缘分布函数可表示为

(15)

由式(10)(12)可得多元Copula函数构造方法

(16)

(17)

这样，可得出三元Copula函数C(Pfg1,Pfg2,Pfg3)的值.此外，三元串联体系整体超越概率也可代入式(9)进一步求出.

为了验证本文提出的基于多元Copula函数的桥梁整体易损性的有效性，选取如图2所示的三跨连续梁桥进行Opensees有限元分析验证.该桥梁桥跨组合为3×16 m.考虑到在多数情况下主梁不会进入弹塑性状态，选用弹性单元模拟主梁，2个桥墩分别为固定墩与铰接墩，铰接墩与主梁通过滑动支座连接，主梁左侧与桥台也通过滑动支座进行连接，在Opensees中，滑动支座通过零长度单元进行模拟，其本构模型为板式双线性模型.桥墩采用圆形截面，直径为1.5 m，桥墩高度为8 m，采用C40混凝土，保护层厚度为5 cm，各桥墩纵筋均采用25根直径为32 mm的HRB400钢筋，钢筋布置见图2，桥墩配筋率为1.138%.桥墩可能会发生塑性破坏，因此采用非线性纤维单元 Concrete 01来模拟桥墩的保护层混凝土以及核心混凝土，钢筋采用Steel 02本构模型进行模拟，桥墩基础通过零长度单元模拟.通过对具有固定支座的桥墩进行截面分析，得到其端部弯矩-曲率曲线，并定义表1中的性能参数C1～C4分别为3×10-3、8×10-3、0.02和0.075.

图2 连续梁桥总体布置Fig.2 General layout of continuous beam bridge

在地震作用下，桥梁桥墩、支座易发生破坏，为了验证基于多元Copula函数桥梁整体易损性的结果，本文选取固定墩、桥墩滑动支座以及桥台滑动支座3个构件组成串联结构模型，每次计算中选取最优Copula函数进行数据拟合，从而得出考虑固定墩墩底曲率、桥墩滑动支座、桥台滑动支座构件的桥梁整体易损性结果.

考虑到桥梁结构在结构尺寸、质量、阻尼混凝土抗压强度和支座剪切模量等多种因素存在不确定性，且结构的地震需求受这些参数的影响较大，因此在结构易损性分析中应考虑结构不确定性对于体系、构件超越概率带来的影响，表2为对结构地震需求影响较大的结构参数不确定性及其概率分布.

表2 结构参数不确定性及其分布

桥梁结构在地震作用下会发生横桥向以及顺桥向的两向破坏，为了选取损伤较为严重的破坏方向，首先分别求出各构件横桥向和顺桥向的易损性曲线，桥墩墩底曲率、桥墩滑动支座以及桥台滑动支座在不同损伤程度下的易损性结果如图3所示.经分析可知，桥梁结构各构件的横桥向损伤大于纵桥向损伤，因此选取各构件的横桥向损伤作为分析对象.此外，图3结果表明：在小震下，桥墩曲率损伤的概率要大于桥墩支座以及桥台支座损伤的概率；
在大震下，支座破坏的概率大于桥墩墩底曲率的概率.

在得到各构件易损性曲线之后，需要确定构件边缘分布函数并实现Copula函数的拟合.构建单元边缘分布函数的方法有参数法以及非参数法2种，参数法对于数据要求程度较高，需提前确定数据分布类型，适应性较小.非参数法是基于样本数据经验分布函数及核密度估计法来实现的，核密度估计法不需提前对样本分布类型进行假定，依据观测样本数据本身分布类型来确定总体的分布类型，适用性广且较为简便.通过选择合适的核函数及窗宽，即可迅速得到样本数据的边缘分布函数，且拟合程度较好.限于篇幅，仅列出各构件在0.6g幅值地震下轻微损伤状态的边缘分布函数，如图4所示.

图3 不同损伤状态下各构件横纵向易损性曲线Fig.3 Comparison of transverse and longitudinal damages with different degrees

图4 轻微损伤下损伤响应变量分布函数值Fig.4 Distribution function values of damage response under minor damage

本文选取分布估计法根据样本数据观测值对Copula函数中未知参数进行估计.在确定样本数据边缘分布函数以及未知参数后，选取最小欧氏距离法及最优Copula函数类型对数据进行拟合.每次拟合前使用表3中的5种函数类型对样本数据进行判别，最终选取拟合效果最好的Copula函数类型.

首先研究考虑双构件时桥梁整体易损性结果，选取具有代表性的桥墩墩底曲率及桥墩支座位移作为研究对象，认为桥梁是该两构件组成的二元串联结构体系，计算可得两构件之间的Copula函数值.轻微损伤状态下，当地面峰值加速度从0.1g变化至1.0g过程中，各类Copula函数的平方欧式距离结果参见表3.

表3 轻微损伤下各Copula函数平方欧式距离

图5 二元体系易损性曲线Fig.5 Fragility curve of binary system

由表3可得各个PGA下的最优Copula函数，根据最优函数对损伤数据进行分析，将得到的Copula函数数值及两构件在不同工况下损伤超越概率代入二元Copula函数计算公式，可得出不同损伤状态下的易损性曲线，如图5所示.

由结果分析可得，对于二元串联结构，在损伤程度较低时，以桥墩损伤代表桥梁整体损伤与实际结果相差不大，但随着损伤程度的增加，考虑桥墩墩底曲率、桥墩滑动支座二元构件的桥梁整体损伤结果要大于桥墩曲率易损性，因此，以单构件易损性来表示整体易损性是不恰当的，得出的结果与实际结果有较大的误差.

对于由桥墩、桥墩滑动支座和桥台滑动支座构成的三元串联体系，将桥墩端部曲率、桥墩滑动支座位移以及桥台滑动支座位移作为损伤响应指标进行易损性分析.选取桥墩滑动支座位移为中间变量，首先求出桥墩曲率、桥墩滑动支座位移之间的二元最优Copula函数值，然后通过式(14)求出桥墩曲率、桥台滑动支座位移两个变量与桥墩滑动支座之间截断函数的边缘分布函数，其次将所求的值代入式(17)中求出考虑三构件的三元最优Copula函数值，然后将三元最优Copula函数值代入式(9)中，可得出三元串联体系的超越概率.不同损伤状态下，考虑三构件串联体系的整体易损性曲线结果如图6所示.

根据结果可知，对于考虑三元构件的桥梁整体易损性结果均要大于单独构件下的易损性结果，这主要是因为考虑整体的易损性能够协同考虑各构件的损伤特性并将所有构件的损伤纳入到系统分析中，避免了基于单一构件损伤进行评估引发的片面性及对相关性考虑的不足.

如前文所述，基于弹塑性耗能差的损伤指数具有更好的精度，将其作为损伤响应指标引入到桥墩的易损性分析中，能够更准确地评价桥墩的损伤演变和累积损伤特征.因此，本文建立了考虑桥墩滑动支座位移、桥台支座位移、桥墩墩底损伤指数三元构件的桥梁整体易损性模型.与前文方法相同，最终获得三元串联体系的超越概率，结果如图6所示.通过比对分析可知：在传统认定的罕遇地震(地面峰值加速度小于0.6g)内，基于损伤指数的体系易损性略大于基于桥墩曲率的体系易损性，这是由于在此阶段内桥梁的滞回耗能显著，基于弹塑性耗能差的损伤指数能够更充分地反映桥墩滞回损伤的特征，而墩底曲率的最值并不能对此进行全面体现.当地震幅值过大时，桥墩出现严重损伤甚至接近倒塌，这时以位移或曲率为参数更能直接反映其损伤程度，因此基于墩端曲率的易损性偏大.在地震易损性分析中，对于普通桥梁建议采用基于损伤指数的体系易损性结果，对于重要桥梁可取2种方法的易损性曲线的包络作为最终的评估结果.

图6 三元体系易损性曲线Fig.6 Fragility curve of ternary system

1) 地震易损性作为评估结构体系破坏程度的重要方法，目前采用的不考虑构件之间相关性得出的桥梁易损性或使用单构件易损性曲线来表述结构整体易损性的方法与实际损伤相差较大，难以准确体现考虑结构体系的整体易损性.本文将连续梁桥等效为桥墩、桥台支座和桥墩滑动支座构成的三元串联体系，并进行体系地震易损性分析.建议选取桥墩端部曲率或基于弹塑性耗能差的损伤指数、桥墩支座位移、桥台支座位移作为损伤变量.

2) 本文提出的基于多元Copula函数的桥梁整体易损性研究方法，通过核密度估计法建立构件的边缘密度函数，通过最小欧式距离法可找出最优Copula函数.针对多元Copula函数，可通过条件概率函数和截断函数的概念，将多元Copula函数的求解转换为多个二元Copula函数的求解，避免求解复杂的联合概率密度函数，极大提高计算效率.结果表明：基于多元Copula函数的结构易损性方法可以为考虑多个关键构件的整体易损性分析提供良好的理论支持.桥梁整体易损性大于单个构件的易损性，对于大型桥梁进行整体易损性分析是十分必要的.相比墩端曲率，采用基于弹塑性耗能差的损伤指数可以更全面准确地反映桥墩损伤状态，宜将其作为损伤响应指标进行易损性分析.

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