初高中视野下对一类面积最值问题的再认识

时间：2022-09-29 21:25:03　来源：柠檬阅读网本文已影响人

何兴月

【摘要】正方形是完美的四边形.正因为正方形在形状、角度、边长等方面的特殊性，使得无数的数学家、解题爱好者对它进行着不懈的研究.其中，正方形的“半角”模型即是其中的一朵绚丽的小花.這个模型主要研究正方形与一个45°的角组成的三角形（其中角的顶点与正方形的一个顶点重合，角的两边与正方形的两边分别相交，构成一个特定的三角形），求该三角形面积的最小值.与该研究结果相关的初中几何相似证明的例题、变形、推广成果也丰富多彩，从而使得“45°”成为活跃在正方形中的一个特别“音符”.

本文结合笔者的教学体会和解题思考，从初高中不同的观点出发，给出了六种求该三角形面积最小值的方法，并得到三角形面积最小值的公式.又在此基础上将正方形推广到矩形的情况，得到在矩形中求该三角形面积最小值的方法及一般性结论.

【关键词】正方形;“半角”模型;最小值;弱化条件

推广在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，点E，F分别是边BC，CD上的点，且满足∠EAF=45°，若a

最值问题是模拟考以及中考中常考的一类问题.最值问题往往涉及动态条件，最常见的就是动点，因为动点的运动会导致点、线、图形的变化，让学生抓不住题目的关键点，一遇到此类问题就茫然.本文从初高中不同的观点出发，给出了正方形“半角”模型中三角形面积最小值的六种不同求解方法（其中包括初中的几何最值、利用一元二次方程有解建立不等式求最值、基本不等式、利用导函数求函数最值等），并给出了一般性的结论.在此基础上，将正方形推广到了一般的矩形，通过构造正方形，将矩形中该三角形面积最小值的问题转化成正方形“半角” 模型中三角形面积的最小值.

《义务教育数学课程标准（2011版）》指出，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中.学生自己发现和提出问题是创新的基础;独立思考、学会思考是创新的核心;归纳概括得到猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法.创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯串数学教育的始终.荷兰数学家弗莱登塔尔的“再创造学习”理论表明：数学教育应该是一个活动过程，在整个活动中，学生应处于一种积极创造状态，教师的任务就是为学生的发展、创造提供自由广阔的天地，引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养学生的创造力.数学问题的多解以及变式能使问题得到引申和拓展，这是达到这一目标的有效途径.数学问题的多解往往需要从多角度、多方位去思考解题方案.数学问题的变式往往需要通过对问题的条件或者结论进行强化或弱化来实现.本文中就利用了弱化条件（将正方形弱化成矩形），进而研究矩形中该三角形面积的最小值，且形成了一般性的结论.

【参考文献】

[1]洪建英.三角形中一类面积最值问题的解法探究[J].中学生数学，2018（21）：8-9.

[2]蒋雁.基于核心素养背景下初中几何最值问题的解题方法[J].数理化解题研究，2019（20）：33-34.

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