长方形正方形面积试题_一组正方形试题的共性

时间：2019-01-26 03:32:13　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　随着课标教材的逐步使用，中考中与直线形相关的证明探索类题目日渐增多，在日常教学中，有必要对其相关变化规律作以研究.本文就一组正方形试题的共性作些探讨. 　　如图1，AE⊥BE于E，AD⊥DC于D，BC⊥DC于C，D、E、C三点在一条直线上，则△ADE∽△ECB，若附加上条件AD=EC或DE=CB或AE=EB，则有△ADE≌△ECB.
　　接下来，我们将图1中的△BEC沿直线CD向左平移使C、E两点重合得图2，取BF与AC的交点为G，则有△ADC∽△FGC∽△FCB∽△CGB.若附加上条件AD=FC或DC=CB或AC=FB，则有△ADC≌△FCB.
　　这两种图形常见于与三角形全等和相似有关的题目之中，其中相关结论的考查应用频繁出现在我们的视野里.由于正方形的四个角为直角可以提供线段之间的垂直条件，四条边相等又可以提供线段相等的条件，所以正方形能很好地作为上述图形条件的显示载体，可以将三角形的全等和相似知识糅合进来，这就是本文所要描述的共性特点.那么，又如何以正方形为载体，把上述共性融进不同的题目之中呢?下面通过几道具体实例的解答点评予以说明.
　　图3例1 如图3，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm.
　　⑴求点P在BC上运动的过程中y的最大值；
　　
　　点评此题由正方形条件提供了AB⊥BC、DC⊥BC，得出结论△ABP∽△PCQ成立所需的条件，接下来应用相似三角形产生的相似比即可建立起y与x之间的二次函数关系式，结构并不复杂，是文首知识的简单体现，表现出推陈出新的特点，以变化的形态有机的将几何与代数结合起来.
　　例2 如图4，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE.(不需要证明)
　　(1)如图5，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”)
　　(2)如图6，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立?若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
　　(3)如图7，在(2)的基础上，连结AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种?并写出证明过程.
　　简解 ⑴成立.
　　⑵成立.
　　证△ADF≌△DCE，得∠AFD=∠DEC，AF=DE.又∠DEC+∠CDE=90°，
　　所以∠AFD+∠CDE=90°，
　　所以∠FGD=90°，即AF⊥DE.
　　⑶正方形.
　　证明：由三角形的中位线定理知MQ∥ED，MQ=12ED；NP∥ED，NP=12ED；MN∥AF，MN=12AF.所以MQ平行且等于NP，
　　所以四边形MNPQ是平行四边形.
　　又由AF=ED得MQ=MN，所以平行四边形MNPQ是菱形.又AF⊥DE，结合平行直线最终可证得∠QMN=90°.所以菱形MNPQ是正方形.
　　点评在本题图4中，以正方形的形态提供了条件AD=CD和DF=CE，而将AF⊥DE作为结论予以探讨，和文首知识相比具有互逆思考的特点，体现出文首所叙知识的通性、通法的地位，具有丰富的变化内涵.接下来，运用特殊与一般的思想在⑴、⑵两问中将本题图4中的条件一般化，让学生分析其中的共性，探求其中不变的数学结论，富有层次感.至第⑶问，又设置出探究中点四边形的问题，将变化推到一个新的高度.从而较好地体现出分析问题要按照由浅入深、由简单到复杂的步骤去进行的思考特点，同时又展示出如何在变化中寻求共性的探究思考解决问题的模式.
　　例3 已知：如图8，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点(点E不与端点C、D重合)，AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P.
　　⑴设DE=m(0

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