[如何提升学生自主获取解题思路的水平] 水平宽乘以铅垂高例题
时间：2019-04-13 03:16:33 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
在平时的数学教学中，学生经常会遇到一些难题，自己无从下手。在教师分析后学生很容易理解了思路，于是，教师和学生也就释然了。但是进一步反思，为什么学生总是需要教师的引领才能寻得思路，自己却很少能够独立获得解决问题的思路？这说明我们的数学教学存在着不足：教师总是和盘托出解决问题的思路，亦步亦趋地引导学生一点一点地发现，教师所关注的仅仅是学生对解题思路的理解，却没有将自己获得思路的方法传授给学生，没有提升学生获取思路的水平。长此以往，学生就总是依赖教师，变得不再思考，不懂思考，不愿思考。数学教学也因此呈现出被动、沉闷、低效的状况。由此可见，面向学生展现教师获取思路的过程，将获取思路的方法传授给学生，引领学生借助自己的思考来解决问题，逐渐提高学生自主获取思路的水平成为当务之急。如何才能做到这一点呢？笔者不揣浅陋，以期抛砖引玉。
方法反思：我们是如何获取思路的？
要把获取思路的方法传授给学生，我们首先应该明确自己是如何获取思路的。但是，有些数学教师遇到难题时，喜欢翻阅答案或者请教他人，而不是从自己的思考出发去寻找思路，这是极不可取的。要学生爱思考，教师本人一定也要爱思考。数学教师首先应该反思的就是我们爱思考吗？其次再进一步反思：我们是如何在思考中获取思路的？对于这一点，很多数学教师没有仔细思考过这个问题，自然难以说清。波利亚在《 怎样解题 》一书中指出，解题的过程分为四个阶段：弄清问题、制订计划、实施计划、回顾。显然，获取思路的关键在于前两个阶段。
1．理解问题，将已知条件和问题了然于心
教师与学生的区别在于，教师在面对一个新问题时，总是先完全理解它，明确它的已知条件和问题，进而寻求解法。很多学生却不然，他们往往是粗略地读一遍题目，还没有完全了解有哪些已知条件，以及要求的问题是什么，就关闭了自己的思考，简单的一句“我不会”，就将问题抛给了教师。如何才能将已知条件和问题了然于心，通常可以采取以下几种做法。
（1）反复阅读。有些问题信息量较多，或者隐藏的条件较多，反复阅读可以帮助我们记住已知条件，挖掘出其中的隐藏条件。比如下面这个问题：一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙3个队，每名选手都与其余9名选手各赛一局，每局棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分。结果甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分。那么甲、乙、丙3队比赛的选手各有多少人？上述题目中的信息量很大，只有反复阅读，才能把比赛规则、记分方法、各组得分情况熟记下来，并在反复阅读中，感受到“乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分”这两个特殊的平均得分，从而找到解决问题的突破口。
（2）整理条件。对于文字表述的问题，初读一遍很难做到明了。以表格、摘录条件等方式进行整理，有利于明确已知条件和问题。比如下面这道题目：已知盐水若干克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度为3%，第二次又加入同样的水后，盐水浓度为2%，求第三次加入同样的水后盐水的浓度是多少。按照操作的过程进行整理，可以使原来的条件更加有条理，利于对比和思考，如图1。
（3）画图。文字表述具有间接性，在进行数学阅读时，脑中往往是有表象的，准确地借助图形把已知条件和问题表示出来，有利于我们理解问题。比如行程问题、分数应用题、和差问题、差倍问题、和倍问题、几何图形问题等都要借助图形帮助自己理解题意。
2．寻求思路，架起已知条件和问题之间的桥梁
解题时，我们往往会运用原有的解题经验，试图类推至此，或者对已知条件进行分离和组合，希望从众多的已知条件中找到解决问题的关键条件进行聚焦式的思考，或者将不同的条件进行组合，以期推论出新的条件。当我们在已知条件和问题之间建起了桥梁，我们也就顺利地解决了问题。这个过程是复杂的，不可能寻得解决一切问题的万能解法。但是其间还是有章可循的，有法可依的。在这个寻求思路的过程中，我们通常可以做出以下努力。
（1）调动原有的解题经验。面对一个新问题，我们往往会进行辨认，很自然的就会和原先熟悉的情景和问题进行沟通，然后动员和组织原有的知识储备和解题经验，试图用自己掌握的思路去解决它。因此，获得良好的解题思路，必然需要良好的知识储备和丰富的解题经验。什么样的解题经验更利于我们动员和调动？教师与学生相比，除知识经验的多寡外，更重要的区别在于：教师的数学知识形成了良好的组织，能够融会贯通，而学生往往难以把握不同知识之间内在的联系。由此可见，良好的解题经验是获取解题思路的基础性条件。
（2）一般问题特殊化。例如下面这道题目：如图2所示，在腰长为10厘米、面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点，设这个点到两腰线段的垂直线段的长分别为a厘米和b厘米，那么a+b的长度之和是多少厘米？因为是底边上的任意一点，学生往往感觉无法捉摸。教师在教学时不妨故意降低要求：“你觉得这一点点在什么地方你会解决，你就把点点在哪里。”学生通常会把点点在底角顶点（如图3）或者是底边中点（如图4）。①点在底角顶点，学生很容易求出a的长度：34×2÷10=6.8（厘米），a+b=6.8+0= 6.8（厘米）。②点在底边中点，可以连接等腰三角形的顶点和底边中点。分别求出a和b的长度：34÷2=17（厘米），17×2÷10=3.4（厘米），3.4+3.4=6.8（厘米）。③有了上述两个特殊情况的解法，学生就很容易猜测出在一般情况下，a+b=6.8（厘米）。同时也会受图4的启发，连接图2中等腰三角形的顶点和底边上的哪一个任意点。进而列出10a÷2+10b÷2=34（厘米），进而推出5a+5b=34（厘米），a+b=34÷5=6.8（厘米）。
（3）合情推理。解题思路的获得并不是纯逻辑的，离不开尝试、猜想、验证、归纳等不完全可靠的方法。这个过程需要解题者具有较好的元认知能力：时刻明确目标在哪里？自己在哪里？自己选择的路径是否可靠？同时也需要解题者具有较好的调整能力。遇到困难时，能够及时调整方向，能够从自己的错误中寻求有益成分，而不是全盘否定，这样才能在不断的尝试、调整、验证中获得思路。比如算式问题、数阵问题中就存在着大量这样的问题。以下面这个问题为例，我们来看一看合情推理中的思维活动：将1~8分别填入下图5中的4个圆以及相互交叉所形成的区域内，使每个圆内的3个数字之和相等，并且使这个和尽可能的小。 读完题目，我们并不是一下子就能想到完美的思路。探究过程通常会经历下面两个阶段：①调动经验进行尝试。由于8个空格分为两类：交叉处和外围。因此把1~8分成两组，4个数填在交叉处，4个数填在外围。先选择4个较小的数1、2、3、4填在交叉处（如上图6、图7），4个较大的数在外围进行尝试，但是无论如何也不能使4个圈内3个数的和都相等。②反思失败原因调整思路。错误并非完全没有价值，其中往往蕴含着通往正确思路的有益成分。仔细分析错误的过程，我们会发现，中间4个数，有大小搭配和依次排列两类填法（如上图6、图7）。第一类，1+4=2+3，找不到相同的数来搭配。第二类，圆内已知两个数的和分别是3、4、6、7，没有连续性。而剩下的4个数5、6、7、8却是连续的，因此无法搭配成功，只能使4个圈内的和分别是11、11、12、12。从第二种错误中，我们能够得出4个圈的总和是46，不是4的倍数。由此联想到，要想填出正确的结果，就要增加四4个圈的总和，也就是让中间4个数的和增加2，改为1、2、3、6。然后再进行尝试，很容易得到正确的填法（如上图8）。探究思路的过程并不全是逻辑，离不开经验的运用、反思、调整和灵感般的顿悟。而学生最不擅长的在于反思和调整，他们往往在失败后全盘否定原来的想法，再一次回到起点沿着另一条路走下去，他们也因此与正确思路失之交臂。
（4）从笨方法入手。思路，在学生那里，往往被潜意识地理解为最佳路径。因此，他们看出来了笨方法，自己也会不屑使用。殊不知，很多时候好的思路就是从所谓的笨方法中发现出来的。他们不愿意使用笨方法的根本原因，其实是害怕麻烦，投机取巧的心理在作祟。苏教版教材编排的一个亮点是解决问题的策略，一一列举的策略、画图策略和假设策略分别安排在四年级下册、五年级的上册和六年级的上册。实际上也存在着笨方法和巧妙思路的关系。比如，六年级上册用假设法解决问题的例题如下：
例：全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？
教材就是先利用画图策略和一一列举的策略，来帮助学生提炼假设策略的，见图9、图10。
画图和一一列举对学生来说是笨方法，但是学生在一一列举的过程中，能够体会到将一只小船调整成一只大船就可以多坐2人（反之少坐2人）。理解了这一点，也就很容易理解假设法的思路：比如假设租的10条船全是小船，一共可以坐10×3=30（人），比总数42人少了42－30=12（人），一只小船调整成一只大船就可以多坐2人，因此一共要租12÷2=6只大船，10－6=4只小船。使用笨方法的过程，是在获取感性经验，感性经验充分了，自然会升华、抽象，不止步于笨方法，对笨方法进行反思，巧妙的方法也就出来了。因此，我们要正确地看待笨方法，一味地找快捷方式往往是没有出路的，多画图、多尝试、多列举，从已有的笨方法出发，巧妙思路才会不期而至。
教法探寻：如何提升学生自主获取思路的水平？
当我们清晰地认识到自己获取思路的过程和方法后，接下来该思考的就是如何将获取思路的方法传授给学生，从而提升学生自主获取思路的水平？需要强调的是，这里所说的传授，是在平时教学过程中有意识地进行渗透，努力让学生感受、理解并逐渐掌握这些方法。在实践和思考中，我认为以下几点非常重要。
1．优化教学，帮助学生建立良好的知识结构
基础知识和基本技能掌握得越牢固，越容易帮助解题者寻找到解题思路。学生已有的知识和经验的多少与质量对于学生来说，是他们面对新问题时能否获取解题思路的基础性要素。同一年级的学生所接触的知识范围是差不多的，但质量上却存在显著差异。因此，我们要从源头抓起，帮助学生建立良好的知识结构。建立良好的知识结构，不在多练，而在多得；不在多得，而在融通。我们可以从两个方面去努力：一方面，每一个新知识的教学要达到深入、深刻。淡化量强化质，争取在教学过程中给予学生多方面的体验、理解和认识。不仅让学生理解是什么、怎么做，还要让学生理解为什么。放弃在简单模仿中熟悉认知，熟练技能，注重在思辨中深化理解，生成技能。能够把握知识和技能的本质意义，实现多得。另一方面，在教学中还要注重不同知识点之间的对比、沟通、联系。只有将知识融入结构，只有打通结构的关节，让其实现通融，才是良好的知识结构。同类知识进行沟通，将它们进行打包贮存；异类知识进行对比，把握二者的根本区别；不同领域的知识进行联系，实现相互贯通。总之，我们要力求学生把握本质，建立体系。
2．给学生一个完整的展现——和学生站在同样的起点解决问题
精心备课是为了教学的高效。事物总具有双面性。我们总是精心预设，站在已知的高度以“回首来时路”的状态与“摸索着前行”的学生交流，实际上是一种不对等的交流。教师从来没有在“不备课”的状态下与学生进行过交流，从来没有给学生完整展现过自己是如何获取解题思路的，学生自然难以学会自主获取解题思路的方法，这是数学教学的重要缺失。我们在备课时不必太满，不妨“留白”，故意将拓展题、思考题放在最后，不提前去看，上课时和学生一起思考。这样，我们和学生站在同样的起跑线，去寻找解决问题的思路，学生才能见到一个真实的完整的探究思路的过程。当然，这需要教学勇气，因为不提前“备题”，我们真不敢确定自己就能找到思路，更不敢确定比所有学生都先找到，更重要的还在于我们给学生呈现了一个并不高明的自己。但正是因为我们真实完整的展现，学生才见到了我们在思考时的努力、失败、尝试、调整、猜测、疏忽，这样他们学会的才不仅仅是思路，还有努力、坚持，以及在这个过程中教师所展现出来的各种为获取解题思路而使用的方法。当然需要指出的是，做教师的另一样基本功还在于，即便我们提前“备了题”，知道了思路，我们依然能够站在一个未知者的角度和学生一起去探究思路。
3．从学生的思考出发——带着半路抛锚的学生走向终点
要使学生掌握获取思路的方法，只有通过学生的自主探究，让他们在自主寻找思路的过程中学会获取思路的方法。教学中遇到最多的问题是：很多时候，学生有一点思路，却不能沿着自己的思路走到底。以至于他们会丧失自主获取思路的信心，渐渐地养成将难题推给教师的习惯，这样的状况是不利于学生自己掌握获取思路的经验和方法的。更好的做法是，教师沿着学生的思考出发，带着半路抛锚的学生走向终点。这样学生就能感受到自己思考的价值，体验到思考的力量，从而提升解题的信心，积累到获取解题思路的经验。比如解决下面这个问题。按照下面的规律排列：1、2、5、10、17……左起第100个数是多少？很多学生通过观察，能够发现相邻两个数的差都是单数并且越来越大，但是按照这样的规律算下去，又太麻烦。教师就可以从学生的发现出发，引导学生：“同学们都发现了相邻两数之间差的规律，用你们发现的规律来看，将原来的每个数改写成算式，分别可以怎样写？”在教师的引导下，学生分别写出：2=1+1，5=1+1+3，10=1+1+3+5，17=1+1+3+5+7，进而找到左起第100个数的计算方法：1+1+3+5+7+…+197，并运用等差数列求和的公式进行解决。在这个案例中，我们可以发现，学生能够找到一些规律，但所找的规律并不利于问题的解决，教师不失时机地在学生发现规律的基础上，对学生进行公式化思想的渗透，有利于帮助学生积累解决问题的经验，学会对原有思路进行调整，从而解决问题。
4．回顾来时路——帮助学生积累获取解题思路的经验和方法
在大多数情况下，探究思路的过程是摸着石头过河，它带给学生的只是一些感性的、模糊的、零散的认识，获取思路的经验和能力并没有在“获取”的过程中获得充分的提高。因此，教师要引领学生在解决完问题之后，对获取思路的过程进行反思，这样才能帮助学生积累一些获取思路的经验和方法，从而提高学生获取思路的水平。可以从下几个方面入手。
（1）删繁就简，帮助学生形成整合优化的思路。小学生的思维往往是具体的、琐碎的，注意力分配还不够成熟，在解决问题的过程中很难兼顾“解题的整体思路”和“具体的解题步骤”，不能很好地把握部分和整体之间的关系。因此，教师就有必要在学生解决问题之后，对繁琐的思路进行整体审视，帮助学生形成整合优化的思路。
（2）由表及里，提升学生的思维水平。很多时候，即便学生理解了思路，往往也不够深入，只是记住了解题的步骤。教师可以针对这些步骤，进一步进行深入的追问：我们是如何想到要先这样算的？这样做对解决问题有什么好处？在这样的追问下，学生的思维就会从具体的算式深入到探究思路时所作的思维活动中去，从而能够逐步提高他们的思维水平。
（3）举一反三，形成获取思路的方法。解决问题的教学不能仅仅停留在技法的层面，仅仅教会学生怎样做“这一题”是远远不够的，要由此及彼，借助“这一题”的解决引出更多问题，教师多进行举一反三，引出同一思路解决的相关问题，使学生能够“举三反一”，在运用同样方法解决问题的过程中，体会到获取思路的策略，形成获取思路的方法，逐步提升自己的数学素养。
综上所述，要提升学生获取思路的水平，需要数学教师本人掌握一些数学方法论的知识，提升自己的方法论素养，并以此为指导来审视自己的课堂，优化平时的教学，有意识地渗透获取思路的方法，关注学生的体验和思考，才能逐步提升学生获取思路的水平。
（作者单位：徐州市铜山新区实验小学，江苏 徐州，221116）
