平行四边形对角线【巧用特殊平行四边形的对角线】

时间：2019-04-09 03:30:49　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　矩形、菱形、正方形是三种特殊的平行四边形，它们的对角线具有一些特殊性质，这就是：　　1. 矩形的两条对角线互相平分且相等；　　2. 菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
　　3. 正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
　　灵活巧用这些性质，能顺利地解答一些相关问题.
　　例1 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD.
　　（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；
　　（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积.
　　分析：（1）显见，四边形OCED是平行四边形. 要判断它的形状，还应看看它是否有可能是矩形、菱形或正方形.（2）由CD是平行四边形OCED的对角线，则S■＝2S■.
　　解：（1）四边形OCED是菱形. 理由如下：
　　∵ DE∥AC，CE∥BD，
　　∴ 四边形OCED是平行四边形.
　　∵ O为矩形ABCD对角线的交点，
　　∴ OC＝■AC，OD＝■BD，AC＝BD.
　　∴ OC＝OD.
　　∴ 四边形OCED是菱形.
　　（2）在矩形ABCD中，由OA＝OB＝OC＝OD，得S■=S■=S■=S■=■S■.
　　∵ AB＝6，BC＝8，
　　∴ S■＝48，S■＝12.
　　∵ CD是菱形OCED的对角线，
　　∴ S■＝2S■＝24.
　　例2 如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED.
　　（1）求证：△BEC≌△DEC；
　　（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数.
　　分析：（1）从正方形ABCD这个条件出发，寻找能使△BEC≌△DEC的相等的边或角.（2）直接求∠EFD的度数比较困难，应考虑将其转化. 不难发现，∠EFD＝∠EAF＋∠AEF. 而∠EAF＝■∠BAD＝45°，这样，求∠EFD的度数的关键在于确定∠AEF的度数.
　　解：（1）由AC是正方形ABCD的对角线，得∠ECB＝∠ECD＝45°.
　　∵ BC＝CD，EC＝EC，
　　∴ △BEC≌△DEC（SAS）.
　　（2）由△BEC≌△DEC，得∠BEC＝∠DEC.
　　∵ ∠BEC＋∠DEC＝∠BED＝120°，
　　∴ ∠BEC＝60°，∠AEF＝∠BEC＝60°.
　　∵ ∠EAF＝45°，
　　∴ ∠EFD＝∠EAF＋∠AEF＝105°.
　　例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
　　（1）求△BDE的周长；
　　（2）点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q. 求证：BP＝DQ.
　　分析：（1）△BDE的周长等于BD＋DE＋BE. 注意到四边形ABCD是菱形，四边形ACED是平行四边形，则△BDE的周长容易求出. （2）要证明BP＝DQ，只需证明△BOP≌△DOQ.
　　解：（1）由点O是菱形ABCD对角线的交点，得AC⊥BD，BD＝2OB，OA＝■AC＝3.
　　∵ AB＝5，
　　∴ OB＝■＝■=4，BD＝8.
　　∵ AD∥BC，DE∥AC，
　　∴ 四边形ADEC是平行四边形.
　　∴ DE＝AC＝6，CE＝AD＝AB＝5.
　　∴ △BDE的周长等于24.
　　（2）由AD∥BC，得∠OBP＝∠ODQ，∠OPB＝∠OQD.
　　∵ OB＝OD，
　　∴ △BOP≌△DOQ（AAS）.
　　∴ BP＝DQ.
　　例4 如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE＝AF.
　　（1）求证：BE＝DF；
　　（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM＝OA，连接EM、FM. 判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论.
　　分析：（1）要证明BE＝DF，只需证明Rt△ABE≌Rt△ADF.（2）依题意，OM＝OA，若能得到OE＝OF，则四边形AEMF是平行四边形.又，AE＝AF，则四边形AEMF是菱形.
　　解：（1）在正方形ABCD中，
　　∵ AB＝AD，∠B＝∠D＝90°.
　　又，AE＝AF，
　　∴ Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）.
　　∴ BE＝DF.
　　（2）四边形AEMF是菱形. 证明如下：
　　∵ AC是正方形ABCD的对角线，
　　∴ ∠BCA＝∠DCA＝45°.
　　∵ BC＝DC，BE＝DF，
　　∴ CE＝CF.
　　∴ CO是等腰△CEF顶角的平分线.
　　∴ OE＝OF.
　　∵ OM＝OA，
　　∴ 四边形AEMF是平行四边形.
　　∵ AE＝AF，
　　∴ 四边形AEMF是菱形.

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