立体几何 [莫怕立体几何难　牢记对策能过关]

时间：2019-02-21 03:24:32　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　立体几何是平面几何的延伸，也是高中数学的重要内容之一. 近年来，高考中的立体几何不仅侧重于对线线、线面、面面的各种位置关系的基础考查, 更加重了对空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力以及运算能力的考查. 在高中数学的学习过程中，同学们普遍反映几何比代数难学，其根本原因在于从初中的平面图形知识过渡到高中的空间图形知识，本身就是一个难点，再加上这部分内容的基本概念相对集中和抽象，于是就要求同学们具备一定的空间想象能力和推理能力. 笔者现对同学们学习立体几何时的三种症状进行分析，有针对性地提出解立体几何题的突破方法.
　　
　　症状一＞＞
　　概念记忆不清
　　表现在解题过程中想不起相关定义、定理，或是记错概念，导致解题出错.
　　症结在学习过程中没有重视对概念的记忆（如线线、线面、面面的位置关系，线线角、线面角、面面角的定义等），因此在解题时不能进行准确地应用.
　　突破之道在学习时应重视对这些基础知识的系统化、结构化记忆，将重要定理进行归纳、类比，找出各个定理的关键字并加以概括，从而记熟这些重要的定理（如将线面平行的判定定理记为“线线平行，则线面平行”等）.
　　例1如图1所示，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是四边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点. 求证：直线MN∥平面OCD.
　　证明：取OB中点E，连结ME，NE.因为ME∥AB，AB∥CD，所以ME∥CD. 又因为NE∥OC，所以平面MNE∥平面OCD，所以MN∥平面OCD.
　　[O][M][A][N][B][D][C]
　　图1
　　例2如图2所示，已知在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E，F分别为BC，AD上的点，并且BE∶EC＝AF∶FD＝1∶2，EF＝，求AB与CD所成的角的大小.
　　 [A][F][D][C][E][H][B]
　　图2
　　解析：取BD上一点H，使得BH∶HD＝1∶2，连结FH、EH，由题意知FH／／AB，EH／／CD，则∠EHF为异面直线AB与CD所成的角（或补角）.
　　又AF∶FD＝BH∶HD＝BE∶EC＝1∶2，所以FH＝AB＝2，HE＝CD＝1，在△EFH中，由余弦定理知cos∠EHF＝＝＝－，所以∠EFH＝120°，故由异面直线所成角的范围可得，异面直线AB与CD所成的角为60°.
　　
　　症状二＞＞
　　空间与平面问题之间转化困难
　　表现遇到某些立体几何问题时，不能有效地将空间问题向平面问题转化，从而造成解题思路闭塞.
　　症结对空间图形的分析不够，没有转化意识，事实上立体几何是平面几何的推广和延伸，很多空间问题最终都要转化成平面问题加以解决.
　　突破之道认真分析图形的结构特征，注意对常见问题的转化方法的总结，如求两异面直线所成的角时要先通过平移将它们转化成同一平面内的相交直线；求二面角的大小即是求二面角的平面角的大小等.
　　例3三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图3所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝，AC＝2，A1C1＝1，＝．
　　（Ⅰ）证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
　　（Ⅱ）求二面角A－CC1－B的大小.
　　 [A][A1][C1][B1][B][D][C]
　　图3
　　解析：（Ⅰ）因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC．在Rt△ABC中，AB＝，AC＝2，所以BC＝，因为BD∶DC＝1∶2，所以BD＝，又＝＝，所以△DBA∽△ABC，所以∠ADB＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC．又因为A1A∩AD＝A，所以BC⊥平面A1AD，因为BC⊂平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1．
　　（Ⅱ）如图4，作AE⊥C1C交C1C于E点，连结BE.
　　 [A][A1][C1][B1][B][D][C][F][E]
　　图4
　　由已知得AB⊥平面ACC1A1，所以AE是BE在面ACC1A1内的射影．由三垂线定理知BE⊥CC1，所以∠AEB为二面角A－CC1－B的平面角．
　　于是过C1作C1F⊥AC交AC于F点，则CF＝AC－AF＝1，C1F＝A1A＝，所以∠C1CF＝60°．在Rt△AEC中，AE＝ACsin60°＝2×＝．在Rt△BAE中，tan∠AEB＝＝＝．所以∠AEB＝arctan，即二面角A－CC1－B为arctan．
　　
　　症状三＞＞
　　缺乏空间想象能力
　　表现遇到问题时头脑中没有相关的几何图形，空间想象能力较弱.
　　症结对空间立体图形的认识存在一定的难度，特别是在图形位置比较复杂、线条比较多时，不容易理清相关几何元素的关系.
　　突破之道利用空间向量的方法可以很好地将几何问题代数化，降低对空间想象能力的要求，因此同学们在解题时要学会建立适当的坐标系，用向量法来求解相关的角和距离的问题.
　　例4如图5所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.
　　（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
　　（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
　　（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离.
　　[z][A][C][x][y][B][O][D][A1][C1][O1][B1]
　　图5
　　解析：（Ⅰ）取BC中点O，连结AO．因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC．因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．
　　取B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（－1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），所以＝（1，2，－），＝（－2，1，0），＝（－1，2，）．
　　因为・＝－2＋2＋0＝0，・＝－1＋4－3＝0，所以⊥，⊥，所以AB1⊥平面A1BD．
　　（Ⅱ）设平面A1AD的法向量为n＝（x，y，z）．
　　因为＝（－1，1，－），＝（0，2，0），且n⊥，n⊥，所以n
　　令z＝1得n=（-，0，1）为平面A1AD的一个法向量．
　　由（Ⅰ）知为平面A1BD的法向量，所以cos􀎨n，􀎩＝＝－，所以二面角A－A1D－B的大小为arccos．
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为平面A1BD的法向量. 因为＝（－2，0，0），＝（1，2，－），所以点C到平面A1BD的距离d＝＝＝.

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