海伦公式求外接圆_作外接圆代数巧证海伦公式
时间：2019-01-26 03:28:50 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
现行初中数学教材中介绍了海伦公式：若已知任一△ABC的三边长为a，b,c,则其面积 S=p(p-a)(p-b)(p-c) ①, 其中p=a+b+c2．
我国南宋数学家秦九韶,提出的著名的“秦九韶公式”.
S=14a2b2-a2+b2-c22②
秦九韶公式化简后与海伦公式等价,被合称为“海伦――秦九韶公式”�
《中学数学杂志》2008年第10期刊登的刘超老师的“海伦公式证明之史海钩沉”和2010年第8期杨武灵老师的“巧设相似比,再谈海伦公式的证明”两文(下称文［1］和文［2］)关于海伦公式的证明,笔者查阅了多种资料(也包括文［1］和文［2］),发现历史上的证法均为几何证法,文［2］中用了构造法,各种方法堪称精巧美妙,但略显复杂；许多证法都借助内切圆,笔者另辟蹊径,添作外接圆,利用了数学史上赫赫有名的托勒密定理(可用初中相似三角形证明)和最常见的勾股定理,完成了以下简洁的代数证明,供读者参考．
托勒密定理 在一个圆内接四边形中,两条对角线之积等于两对对边乘积之和．
如图,已知任一△ABC,设BC=a ,AC=b, AB=c,作其外接圆⊙O,连接AO与圆交于D,连接BD,CD,则∠ABD=∠ACD=90°,设直径AD=x=2R(R为⊙O的半径),
在Rt△ABD和Rt△ACD中,由勾股定理得
BD=AD2-AB2=x2-c2,
CD=AD2-AC2=x2-b2．
在⊙O中,由托勒密定理得BC•AD=AB•CD+AC•BD,所以ax=cx2-b2+bx2-c2,
移项得ax-bx2-c2=cx2-b2．
经过两次去根号并化简得
abcx2=a2b2-a2+b2-c222,
因为x=2R,
所以abc2R2=a2b2-a2+b2-c222,
abc4R2=14a2b2-a2+b2-c222,
因为S=abc4R,
所以S=14a2b2-a2+b2-c22．
这就是秦九韶公式,证毕．
不论∠A为锐角、直角、钝角,证明都完全相同�该证法较之历史上的几何证法,所用知识简单,证明过程直观、自然,且对于“添加外接圆”方法证明几何命题有一定的启发作用．
参考文献
［1］ 刘超.海伦公式证明之史海钩沉［J］.中学数学杂志,2008,(10)．
［2］ 杨武灵.巧设“相似比”,再谈海伦公式的证明［J］.中学数学杂志,2010,(8)．
作者简介 丁位卿,男,河南长葛人,郑州信息工程大学毕业．
