【十招智取轨迹方程】轨迹方程

时间：2019-03-19 03:29:49　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　编者按：随着高考的一天天临近，我们感到还有许多知识需要理解，许多原理需要拓展，各种题型等待着攻克，有时会感到力不从心，乱了复习的章法。其实越临近高考，越应该抓住核心的知识。有人比喻高三复习：高考第一轮复习是学会走，第二轮复习是学会跑，第三轮复习是学会飞。而能否飞起来，能飞多高，要看跑的加速度是多大，因此，这期我们提前帮助你“加速冲关”，让你的复习驶上快车道。
　　
　　求动点的轨迹方程是解析几何最基本、最重要的问题之一，是用代数方法研究几何问题的基础丨这类题目把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力以及解题能力融于一体，是历年高考考�的热点.
　　一、解题步骤
　　在求动点的轨迹方程时，要历经审题、寻找和确定求解途径、分清解答步骤、逐步推演、综合陈述、完整作答或给出恰当的结论等多个不可缺少的环节，其基本步骤是：
　　1.建系设点：建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任意一点坐标为M(x,y)；
　　2.列式：写出适合条件的点的集合P={M |P(M)}，关键是根据条件列出适合条件的等式；
　　3.代换：用坐标代换几何等式，列出方程f(x,y)=0；
　　4.化简：把方程f(x,y)=0化成最简形式；
　　5.证明：以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
　　注意：通常求轨迹方程时，可以将步骤（2）和(5)省略.
　　二、解题技法
　　1.直接法
　　如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了旦易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程.
　　例1如图1，设动直线垂直于x轴，且与椭圆交于A、B两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程.
　　分析：设P点的坐标为(x，y),用直接法求得P点的轨迹方程，要注意x的范围.
　　解析：设P点的坐标为(x，y)，则直线与椭圆的两个交点分别为， .
　　又∵ ,
　　∴(0,-y) （0，- -y）=1
　　即，∴ .
　　又∵直线与椭圆交与两点，∴-2 　　有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.
　　例7 定点A(3,0)为圆外一定点，P为圆上任一点，∠POA的平分线交PA于Q
　　求点Q的轨迹方程.
　　解析：如图7，设Q(x，y)、P(x0,y0).
　　由于OQ平分∠POA，则 .
　　即Q分AP的比为3，由定比分点坐标公式，得 .
　　由于∠POA还有两种情况可能对轨迹有影响，当P与B重合时，Q与O也重合，巳包含在上述轨迹中；当P与C重合时，∠AOP退化为0°角，其角平分线为射线Ox而点Q的轨迹方程为y=0(1≤x≤3)
　　综上所述，所求轨迹方程为
　　点评：本题考�了随某点运动而运动的动点轨迹方程的求法，其关键是寻找所求的动点与巳知曲线上的动点之间的关系.在这里是借助线段的定比分点坐标公式来建立两动点之间关系的.
　　8.点差法
　　若轨迹问题中涉及中点弦问题，就可考虑点差法，只要通过代点作差，并以中点弦的斜率为桥梁，即可获得动点的轨迹方程.
　　例8 如图8，已知抛物线方程为 ,过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
　　解析：设A(x1，y1)、B(x2,y2),M(x,y)
　　
　　则有
　　
　　两式相减得 .
　　(1)当AB不垂直于x轴时，x1≠x2，
　　∴ ，
　　又F(1,0) ∴
　　（２）当AB垂直于x轴时，点M即为点F（1,0），也符合上述方程.
　　故AB的中点M的轨迹方程为 .
　　点评：有直线参与的问题往往要考虑斜率不存在的情形.
　　9.待定系数法
　　若动点的轨迹的形状巳经明确(或较易判断) 一般用待定系数法求动点的轨迹方程.
　　例9 小明同学观察到某建筑物的一墙面上对称排列着一组正三角形架〔如图9所示入每个正三角形架的顶点A1,A2,A3,…，A20上各有一盏照明灯.已知这些正三角形架的边长依次是10cm，30cm，50cm …，构成一等差数列，这些灯似乎连缀成一条曲线.他断定这些灯在同一条抛物线上. 证明他的判断，并求出抛物线的方程.
　　解析：以直线B1A1为x轴，线段B1A1的中垂线为y轴，建立如图10所示的平面直角坐标系.
　　则A1,A2,A3,…，An（n≤20，n∈N*）的坐标分别是 …， .
　　设抛物线的方程为，
　　将An 代入方程成立
　　∴ 抛物线的方程为
　　由对称性知，B1，B2，B3，…Bn（n≤20，n∈N*）也在此抛物线上.
　　点评：解题的关键在于首先假设小明同学的判断是正确的，即这些灯连缀成的一条曲线是抛物线，通过建立坐标系，用待定系数法求出抛物线的方程，然后验证所有的点都在该抛物线上即可.
　　10.投影法
　　解析几何中的距离公式、定比分点坐标公式、斜率公式、弦长公式等的推导过程中，都采用了把点或线段正投影到坐标轴上的方法，此法称为投影法.对于一条直线与曲线相交的分点、线段长相关的轨迹方程，用投影法解决可以简化运算.
　　例10 抛物线交直线系y=mx(m>0)于不同的两点P1、P2，点Q在线段P1P2上，且 ,求点Q的轨迹方程.
　　分析：把线段OP1、OP2、OQ投影到x轴上，将条件转化成，再用韦达定理消去x1、x2.
　　解析：如图11，设Q(x，y)、P1(x1，y1)、P2(x2,y2)，将y=mx(m>0)代入抛物线方程并整理得：，,由.
　　故点Q的轨迹方程为：
　　点评：受解析几何一系列公式推导方法的启发，将斜线段投影到坐标轴上将大大减小计算量，是思维灵活性的具体表现，此手法值得大家细细品味和充分借鉴。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

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