[证明“线段和”问题常用的几种方法]证明线段和差倍分问题
时间：2019-01-26 03:31:45 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
山东教育出版社(2006)义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册(以下简称“鲁教版(2006)数学八年级下册”)77页“试一试”： 已知：如图1，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与AD相交于点P，求证：PD+DC=BC.
这道题的解答过程如下：因为平行四边形ABCD中，AD∥BC，所以∠APB=∠PBC，因为BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠PBC，所以∠APB=∠ABP，所以AB=AP……第一步；因为平行四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，所以BC=AD=AP+PD=AB+PD=CD+PD……第二步.
本题实际上是证明“两条较短的线段的和等于一条较长线段”的问题，我们可以简称为“线段和”问题，此题给出了证明“线段和”问题的基本思路：将两条较短线段或较长线段分别用与它们相等的量进行代换，而新的等量关系易于证明. 现行教材中“线段和”问题很多，常用的证明方法有以下三种.
1 从已有条件寻找等量关系，进行等量代换
1.1 “试一试”解答过程有一个基本规律：遇到角平分线和平行线相结合的图形马上得到一个等腰三角形，然后进行等量代换，使命题得证. 这一规律有着广泛的应用.
将“试一试”中平行四边形ABCD的边CD向左平移与AP相交得到：
例1 如图2，在平行四边形ABCD中，如果∠ABC的平分线与AD的延长线相交于点P，猜想PD、DC、BC有何关系?并证明你的结论. (PD+BC=DC)
例2 如图3，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E. 求证：BD+EC=DE.
例3 如图4，△ABC中，I是角平分线BE和CF的交点，MN经过I，平行于BC，交AB于点M，交AC于点N. 求证：MN=BM+CN.
例4 如图5，EF是梯形ABCD的中位线，AF平分∠DAB. 求证：AD=2EF(鲁教版(2006)数学八年级下册136页第29题).
这里的“AD=2EF”，可以看作“AD=EF+EF”，先证出AE=EF，因为AD=2AE，所以AD=2EF. 此题还可以改为：如图5，EF是梯形ABCD的中位线，AF平分∠DAB，求证：AB+DC=AD. 改后的题目既具有“线段和”问题的特征，又增加了梯形中位线定理的内容.
1.2 通过全等三角形、等腰直角三角形等知识寻找等量关系，进行等量代换
例5 如图6，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E. (1)已知CD=4，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD(鲁教版(2006)数学八年级下册31页例1).
分析 先证出△ACD≌△AED(AAS)得AC=AE，CD=DE，再证△BDE为等腰直角三角形得DE=BE，所以CD=BE，所以AB=AE+BE=AC+CD.
例6 如图7，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，EF⊥AC交BC于F，求证：AB+BF=AC.
例7 如图8，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AM⊥EF，垂足为M，AM=AB，求证：EF=BE+DF.
证明 连结AE、AF，分别证△ABE≌△AME(HL)和△ADF≌△AMF(HL)得BE=EM，DF=MF，所以EF=EM+MF=BE+DF.
例6是将例5放到正方形ABCD中，等腰直角三角形ABC变成了隐含条件，例7则是将例6进一步改编，通过两组全等三角形找到等量关系，进行等量代换.
2 利用截长补短法，构造等量关系，进行等量代换
将例5去掉条件“DE⊥AB”成为：
例8 已知AB是等腰直角三角形ABC的斜边，AD是角平分线，求证AC+CD=AB.
证法1 如图9，过点D作DE⊥AB于E，就成为上面的例5的第(2)问，这种方法是将较长线段AB截成了AE和BE两段，然后证明这两段分别和等号左边的AC和CD相等，从而命题得证. 我们称这种方法为“截长法”.
证法2 如图10，延长AC至F，使AF=AB，连结FD，先证出△AFD≌△ABD(SAS)，得∠F=∠B=45°，再通过△CDF是等腰直角三角形得CF=CD. 所以AC+CD=AC+CF=AF=AB，这种方法是将一条较短线段AC补了一块CF后与较长线段AB相等，再证所补的线段CF恰好等于另一条较短线段CD，从而命题得证. 我们称这种方法为“补短法”，在证明“线段和”问题时，如果不能直接找出等量关系，可考虑用“截长法”或用“补短法”构造等量关系，进行等量代换.
本例中由于∠C=90°，∠B=45°所以∠C=2∠B，即其中一个角是另一个角的2倍，将此题扩展为一般形式得：
例9 △ABC中，∠B=2∠C，AD是角平分线，求证：AB+BD=AC.
证明 (1)截长法：如图11，在AC上截取AE=AB，连结DE，先证△ABD≌△AED(SAS)得BD=DE，∠B=∠AED，再由∠AED=∠B=2∠C，证出∠EDC=∠C，所以BD=DE=EC，所以AB+BD=AE+EC=AC.
(2)补短法：如图12，延长AB至F，使AF=AC，先证△AFD≌△ACD(SAS)得∠F=∠C，再证∠F=∠BDF，所以BF=BD，所以AB+BD=AB+BF=AF=AC.
将例9中的条件“AD是角平分线”改为“AD是高”，便成为：
例10 如图13，△ABC中，∠B=2∠C，AD是高. 求证：AB+BD=CD.
分析 (1)用截长法：在DC上截取DE=BD，连结AE；(2)用补短法：延长DB至F，使DF=DC证明过程略.
图13例11 在△ABC中，AB=AC，CD是边AB上的高，M是BC上任意一点，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别是点E、F求证：ME+MF=CD(鲁教版(2006)数学八年级下册136页30题(1)).
证明 (1)截长法：如图14，过点M作MG⊥CD交CD于G，先证四边形DEMG是矩形得DG=EM，再证△MGC≌△CFM(AAS)得MF=CG，所以ME+MF=DG+CG=DC.(2)补短法：如图15，过点C作CH⊥EM交EM延长线于H，先证四边形DEHC是矩形得EH=DC，再证△CHM≌△CFM(AAS)得MF=MH，所以ME+MF=ME+MH=EH=DC.
将例11的条件“△ABC”改为“梯形ABCD”变为：
例12 如图16，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，P为BC上任一点，PE⊥AB，PG⊥CD，CF⊥AB求证：PE+PG=CF. 证明方法同例11.
例13 如图17，△ABC中，AB=AC，∠A=90°，∠ACB的平分线CD交AB于点E，∠BDC=90°，求证：CE=2BD(鲁教版(2006)数学八年级下册134页第10题).
分析 采用补短法，可将结论看作是CE=BD+BD. 延长BD交CA的延长线于点F，分别证明△CEA≌△BFA(ASA)和△BDC≌△FDC(ASA)得CE=BF，BD=DF，所以CE=BF=BD+DF=2BD.
例14 如图18，梯形ABCD中，AB∥DC，E是腰AD的中点，且BE⊥CE求证：AB+DC=BC.
证明 采用补短法，延长CE交BA的延长线于点F，通过全等三角形证出DC=AF，BF=BC，所以AB+DC=AB+AF=BF=BC.
例15 如图19，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，并且AF平分∠EAD，求证：BE+DF=AE.
分析 采用补短法，延长EB至G，使BG=DF通过全等三角形证出DF=BG，再证明∠GAE=∠BAF=∠AFD=∠G，所以AE=GE，所以BE+DF=BE+BG=GE=AE.
例8～例12都可以用“截长法”和“补短法”两种方法解答，但是例13～例15由于条件所限或考虑解答的难易程度，适宜采用一种方法解答. 因此用“截长补短”法证明“线段和”问题，应根据具体问题具体分析，灵活选用.
3 面积证法
有的“线段和”问题用上述两种思路解答不出来时，还可以考虑采用面积证法，往往起到“事半功倍”的效果.
作者简介：杨永利，男，1975年3月生，山东文登人.中教一级. 主要研究方向为：初中数学课堂教学改革、教材教法、思路方法技巧. 2007年10开始参与两项威海地级课题《家庭教育研究》、《推行赏识化教学，构建生命化课堂》研究，承担重要研究工作. 发表论文多篇.
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