三角函数高考题及答案三角函数高考题归类分析及命题预测

时间：2019-02-23 03:27:20　来源：柠檬阅读网本文已影响人

　　三角函数除了具有一般函数的各种性质外，还具有周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的各种问题丰富多彩、变化多端. 在每年高考中，围绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，成为高考命题的热点．
　　
　　一、2010年高考三角函数题型归类
　　2010年高考从三角函数的图象、周期性、奇偶性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查了三角知识．
　　1. 直接考查三角函数的基本公式与基本运算
　　例1 （全国卷Ⅱ）已知α是第二象限的角，tan（π+2α）=-■，则tanα=．
　　解析由tan（π+2α）=-■得tan2α=-■.
　　又tan2α=■，解得tanα=-■或tanα=2.
　　又α是第二象限的角，所以tanα=-■.
　　评注本题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.
　　2. 考查三角函数的图象与性质
　　例2 （辽宁卷）设ω>0，函数y=sin（ωx+■）+2的图象向右平移■个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）
　　A. ■?摇?摇 B. ■?摇?摇 C. ■?摇?摇 D. 3
　　解析将y=sin（ωx+■）+2的图象向右平移■个单位后为
　　y=sin［ω（x-■）+■］+2=sin（ωx+■-■）+2，
　　所以有■=2kπ，即ω=■，k∈Z.
　　又因为ω＞0，所以k≥1，则ω=■≥■. 故选C.
　　评注本题涉及三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查同学们对知识灵活掌握的程度．
　　3. 考查三角恒等变形与解三角形的知识
　　例3 （辽宁卷）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.
　　（Ⅰ）求A的大小；
　　（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值.
　　解析（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即a2=b2+c2+bc.
　　由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，则cosA=-■，A=120°.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=■cosB+■sinB= sin（60°+B），
　　则当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1．
　　4.考查三角函数在实际生活中的应用
　　例4 （江苏卷）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β．
　　（1）该小组已经测得一组α、β的值，算出了tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
　　（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
　　解析本题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．
　　（1）由AB=■，BD=■，AD=■及AD-AB=DB，得■-■=■. 解得H=■=■=124．
　　因此，算出的电视塔的高度H是124m．
　　（2）由题设知d=AB，得tanα=■，tanβ=■=■=■，所以
　　tan（α-β）=■=■=■=■.
　　又d+■≥2■，当且仅当d=■=■=55■时取等号.
　　故当d=55■时，tan（α-β）最大．
　　因为0＜β＜α＜■，则0＜α-β＜■，所以当d=55■时，α-β最大．
　　故所求的d是55■m．
　　5. 考查三角函数与其他内容的综合
　　例5 （安徽文科卷）△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA=■．
　　（Ⅰ）求■・■；
　　（Ⅱ）若c-b=1，求a的值．
　　分析本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. （Ⅰ）根据同角三角函数关系，由cosA=■得sinA的值，再根据△ABC面积公式得bc=156；直接求数量积■・■. （Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bcscosA，代入已知条件c-b=1，及bc=156，可求得a的值.
　　解由cosA=■，得sinA=■=■.
　　又■bcsinA=30，所以bc=156.
　　（Ⅰ） ■・■=bccosA=156×■=144.
　　（Ⅱ） a2=b2+c2-2bccosA=（c-b）2+2bc（1-cosA）=1+2×156×（1-■）=25，
　　所以a=5.
　　评注根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知△ABC的面积是30，cosA=■，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值. 第二问求a的值，根据第一问中的结论，直接利用余弦定理即可.
　　
　　二、高考三角函数命题展望与预测
　　三角函数部分在高考中具有一定的地位，但试题难度不太大. 下面是对今年高考三角函数命题的几点预测：
　　1．考查三角函数图象及其性质，其中求角的范围可能出现在选择题与填空题中，属基础题，要求同学们掌握三角函数最基本的性质．
　　2. 考查三角变换及求值并结合三角函数的题，可能出现在选择题与填空题中，要求同学们掌握三角函数最基本的三角变换．
　　3. 考查三角形中的三角函数问题，是近几年高考的热点题型．
　　4. “横向三角题”，即用三角函数知识解决一些实际问题，可能出现在大题中，属中档题，要求同学们掌握其性质变换，具有一定的推理能力和逻辑思维能力．
　　5. 高考中仍将重点考查两角和，正、余弦公式及二倍角公式的应用．
　　6. 注意三角函数与平面向量、求导等的综合题，关注三角函数在解决立体几何与解析几何计算问题中的应用．
　　（编辑孙世奇）
　　
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