[一题三解巧过函数“难关”]巧用函数调用,打印不同行数和字符
时间：2019-02-21 03:26:49 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
考场上的快速求解依赖于平时的训练,通常一题多解能有效锻炼思维能力,帮助同学们打开思路,迅速找到问题的切入点. 函数作为贯穿整个高中数学的主线之一,在高考中始终占据着重要位置,在选择题、填空题、解答题中都有所考查. 其中,选择题、填空题中的函数问题多考查函数的单调性、奇偶性、周期性等,所以在日常训练中,同学们应熟悉函数的各种性质,解题时尽量多角度思考,从而达到快速解题的目的. 下面我们就以2009年全国卷Ⅰ第11题为例进行剖析.
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则()
A. f(x)是偶函数
B. f(x)是奇函数
C. f(x)=f(x+2)
D. f(x+3)是奇函数
(数的角度)如果函数f(x)是奇函数,那么将解析式中的x换成-x,则函数值将变成原函数值的相反数,即 f(-x)=-f(x),所以我们可以从已知条件“f(x+1)与f(x-1)都是奇函数”出发,进行变换,探究能得到的结论,并从中发现有用的信息.
解法1?摇 因为f(x+1)是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1).?摇?摇?摇①
同理,因为f(x-1)是奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1).?摇?摇?摇②
由①知f(-x)=-f(2+x),由②知f(-x)=-f(x-2),所以f(2+x)=f(x-2),即f(x+4)=f(x). 所以函数f(x)是周期为4的函数. 所以f(x-1)=f(x-1+4)=f(x+3),即f(x+3)是奇函数. 故选D.
(形的角度)如果函数f(x)是奇函数,那么函数f(x)的图象关于原点对称. 由f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,可得函数f(x+1)与f(x-1)的图象都关于原点对称,而函数f(x+1)的图象向右平移一个单位即得函数f(x)的图象,函数f(x-1)的图象向左平移一个单位也得函数f(x)的图象,就是说函数f(x)的图象关于点(1,0)和点(-1,0)都对称,而两个相邻的中心对称点之间的距离恰好等于函数的半个周期,于是函数f(x)是周期为4的函数,据此可解决问题.
解法2因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,所以函数f(x+1)与f(x-1)的图象都关于原点对称. 所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和点(-1,0)都对称.于是f(x)是周期为T=2[1-(-1)]=4的函数,所以将函数f(x-1)向左平移4个单位,所得函数的图象仍成中心对称,即函数f(x+4-1)=f(x+3)仍是奇函数. 故选D.
(数形结合)由函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数得f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1),再根据函数 f(x)的图象关于点(1,0)和点(-1,0)都对称,得f(x)的周期为T=2[1-(-1)]=4,利用周期性将f(-x-1)=-f(x-1)变为f(-x-1+4)=-f(x-1+4),即f(-x+3)= -f(x+3),此式说明f(x+3)是奇函数.
解法3因为f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,所以f(-x+1)=-f(x+1), f(-x-1)=-f(x-1). 而函数f(x)的图象关于点(1,0)和点(-1,0)都对称,所以f(x)的周期为T=4. 所以f(-x-1+4)=-f(x-1+4),即f(-x+3)=-f(x+3). 所以f(x+3)是奇函数. 故选D.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
