常Gauss曲率Bonnet曲面*
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李苗苗， 吴英毅
(中国科学院大学数学科学学院， 北京 100049) ( 2020年8月20日收稿；
2020年10月3日收修改稿)
定理A常Gauss曲率Bonnet曲面Gauss曲率为0。
为方便讨论，本文涉及的Bonnet曲面均无脐点，且dH≠0。
设M为3中无脐点的光滑曲面。M上存在单位主方向标架场{x,e1,e2,e3}，其中x∈M，e3为法向量，e1、e2为曲面的主方向。记曲面的主曲率为a、c(a>c)，高斯曲率为K，平均曲率为H，即标架运动方程为
其中ω1,ω2为e1,e2的对偶1-形式，则ω13=aω1，ω23=cω2，ω12为曲面的联络形式，设ω12=hω1+kω2。上述1- 形式满足结构方程
由Codazzi方程，
[da-(a-c)hω2]∧ω1=0,
[da-(a-c)kω1]∧ω2=0.
不妨设
2dH=d(a+c)=(a-c)(uω1+vω2),
(1)
则
因此，
dlog (a-c)=(u-2k)ω1-(v-2h)ω2,
(2)
定义1-形式
θ1=uω1+vω2,θ2=-vω1+uω2,
α1=uω1-vω2,α2=vω1+uω2.
定义*算子
*ω1=ω2, *ω2=-ω1,
则
*θ1=θ2, *θ2=-θ1,
*α1=α2, *α2=-α1.
于是式(1)和式(2)可以改写为
2dH=(a-c)θ1,
dlog (a-c)=α1+2*ω12.
由于dH≠0，定义度量
其中ds2为M上的诱导度量。
Chern在文献[2]中证明曲面M为Bonnet曲面的充要条件为
定理1.1[5]若M为Bonnet曲面，则
1)度量
的Gauss曲率为0，
Chen和Peng在文献[5]中指出可选取M上的等温坐标(u,v)，有
此时H仅为u的函数，即H=H(u)。这样就得到如下各式：
(3)
(4)
Δ0lnF=F2.
(5)
式(5)可改写为
(lnF)″=F2.
(6)
这样就得到关于Bonnet曲面Gauss曲率满足的微分方程
在等温坐标下，曲面的第一基本型为
ds2=e2φ(du2+dv2),
(7)
经过简单计算可得
(8)
其中协变导数hijk(i,j,k=1,2)由
确定。直接计算h112,h121,h212,h221并代入式(8)，得到
(9)
事实上可简单验证式(9)的可积性条件即为式(6) 。解式(6)，得到
(10)
这里t,λ(λ≠0)为任意常数。将式(10)代入式(9)中，有
其中s为任意常数。再由式(7)，K=-φ″e-2φ得到
(11)
这样就得到Bonnet曲面的平均曲率H所满足的微分方程。反之，由文献[7]也可以利用式(11)和式(9)的解构造满足条件的Bonnet曲面。这样就得到如下定理：
定理1.2[5-7]若M为Bonnet曲面, 则存在等温坐标(u,v)，使得M的平均曲率H仅为u的函数，且M的Gauss 曲率K和平均曲率H满足方程组
(12)
其中
λ,t为常数，且λ≠0。
本节将在Bonnet曲面M的Gauss曲率K为常值时，对定理1.2中的方程组进行求解，得到若K为常值且K不为0，式(12)无解。
首先设K>0，由
令
(13)
其中β为关于u的函数。由式(13)，
(14)
于是
(15)
对式(15)左边积分有
(16)
设K<0，由
此时令
(17)
(18)
进一步，
(19)
由式(18)和式(19)，
进一步，
(20)
现在将利用式(14)和式(16)以及式(18)和式(20)讨论 Gauss曲率K的表达式。
(21)
注意到式(12)中二式又可以写成
(22)
将式(21)中的结果代入到式(22)中得到
这样就得到了Gauss曲率K的表达式，这与假设K为常值矛盾。
(23)
将式(23)中的结果代入到式(22)中有
这与假设K为常值矛盾。
(24)
将式(24)中的结果代入到式(22)中得
这与K为常值矛盾。
(25)
将式(25)中的结果代入到式(22)中有
这与K为常数矛盾。
(26)
将式(26)中的结果代入到式(22)中有
这与K为常值矛盾。
(27)
将式(27)中的结果代入到式(22)中有
与K为常值矛盾。
综上可知，若Bonnet曲面Gauss曲率K为常值，则只能为0。这样就完成了定理A的证明。
现在考虑零Gauss曲率Bonnet曲面的平均曲率，此时式(12) 为
(28)
(29)
由式(28)有
(lnH2)′=2F.
(30)
H=m(u+t)±1.
m≠0为常数，H不能使式(29)式成立。
m≠0为常数，H不能使式(29)式成立。
综上所述，得到如下结论：
M为Bonnet曲面，则存在等温坐标(u,v)使M的Gauss曲率K和平均曲率H均为u的函数，M上的度量有如下形式：
并且K,H满足方程
其中
