多组分尘埃等离子体中非线性尘埃声孤波的传播特征

林麦麦 王明月 蒋蕾

(西北师范大学物理与电子工程学院,兰州 730070)

采用Sagdeev 势方法研究了多组分尘埃等离子体中的非线性尘埃声孤波的传播特征.推导得到了在含有尘埃颗粒、电子流、质子流及Kappa 电子和离子的多组分尘埃等离子体中的非线性尘埃声波所对应的Sagdeev 势函数.并利用定性分析方法,确定该系统同时存在线性周期波解轨道、非线性周期波解轨道和孤立波解轨道.与此同时,借助数值模拟方法发现:该多组分尘埃等离子体系统中仅存在振幅小于零的稀疏型孤立波,且非线性尘埃声孤波的振幅、宽度及波形等传播特征均与马赫数M、多种粒子数密度、温度、电荷量、质量及Kappa 电子数、离子数等各种系统参数存在紧密关联.

目前,关于多组分尘埃等离子体中多种非线性波动过程的研究已成为等离子体物理的重要前沿研究领域,其研究内容广泛,包括天体物理学、半导体制造、聚变反应堆等[1−8].实际条件下尘埃颗粒广泛存在于实验室等离子体和星际空间、太阳系、地球电离层,以及暂星尾和行星环空间等离子体环境中[9−14].1990 年Rao等[15]首次从理论上预测了未磁化尘埃等离子体中的非线性尘埃声波的存在性;1995 年,Barkan等[16]在实验室中观测到了非线性尘埃声波.现在,非线性尘埃声波的相关研究课题已成为了等离子体物理学的热门课题之一,众多科研工作者对该课题进行了深入探讨,Tiwari等[17]研究了尘埃等离子体中大振幅的非线性离子声孤波的传播特点;Adhikary等[18]利用约化摄动法研究了有正、负离子的尘埃等离子体中小振幅的非线性尘埃声孤波和冲击波的传播特征;Mamun[19]依靠赝势方法研究了绝热条件下热尘埃等离子体中非线性尘埃声孤立波的特点;Sinha 和Sahu[20]研究了非磁化四分量等离子体中的尘埃离子声波.

研究尘埃等离子体中非线性波动过程的方法比较多样,常见的约化摄动法可以用于研究小振幅的非线性波;如果考虑边界效应,则可利用赝势法进行非线性波动过程的讨论;除此之外,Sagdeev势方法可以研究等离子体中大振幅的非线性波动过程,已广泛应用于多种课题的理论研究中.例如,Mamun 和Shukla[21]利用Sagdeev 势方法研究了强耦合尘埃等离子体中任意振幅的尘埃声孤波;Hatami 和Nikknam[22]则使用Sagdeev 势方法研究了双温非广延电子对离子双层结构的影响;El-Hanbaly等[23]利用Sagdeev 势方法研究了具有超热电子和非广延离子的尘埃等离子体中非线性尘埃声波的传播特征;Sebastian等[24]则通过Sagdeev势方法研究了五分量等离子体中压缩孤立波和稀疏孤立波的存在及孤立波的传播特征.由此不难看出,Sagdeev 势方法是等离子体中非线性波研究的重要方法.

本文利用Sagdeev 势方法研究了非线性尘埃声波在含有带正电的尘埃颗粒、电子流、质子流、呈Kappa 分布的电子和离子多组分尘埃等离子体中的基本传播特征.第2 节给出原始方程并利用Sagdeev 势方法推导得到二维自治动力系统的具体表达式.第3 节对系统相图进行分析讨论,确定该系统同时存在线性波解、非线性波解和孤立波解,且多种波动行为的存在与多种系统因素存在紧密关联.第4 节求得Sagdeev 势函数和孤立波解表达式,并借助数值模拟的方法获得Sagdeev 势的基本演化特征及孤立波的振幅、宽度和波形随系统参数的基本变化规律.从而得出结论:多组分尘埃等离子体中的多种系统参数,诸如尘埃颗粒、电子、质子、离子等多种粒子的质量、数密度、温度、电荷量等均对该系统中的非线性尘埃声孤波的传播特征存在重要影响.

为了研究多组分尘埃等离子体中非线性尘埃声波的传播特征,假设多组分尘埃等离子体是由太阳风中带正电的尘埃颗粒、电子流、质子流,以及呈现Kappa 分布的电子和离子共同组成.以磁流体力学中理想磁流体力学(magneto hydro dynamic,MHD)模型为理论基础,忽略粒子间的相互碰撞,对尘埃等离子体受到的库仑力、重力、拖曳力等作用力暂时忽略不计,可以得到如下形式的无量纲化方程组[25]:

其中,Kappa 分布的离子和电子的数密度形式如下[25]:

在这里Kappa 分布表达式仅适用于κe(i)＞3/2 和极限κe(i)→∞的条件[25],其中κe和κi分别为Kappa分布电子数和离子数.

接下来,利用Sagdeev 势方法研究非线性尘埃声波的传播特征.首先,对(1)式—(6)式中的自变量进行行波变换:令ξx-Mt,M为马赫数.(1)式—(6)式可以化为

考虑边界条件:当ξ→∞时,Nd→1,Nc→1,Nb→1,ud→0,uc→0,ub→0,φ→0,则通过化简(10)式—(15)式可得Nd,Nc和Nb的表达式:

将其代入(7)式后可得

其中

将(16)式转化为二维自治动力系统如下:

其中,φ表示静电势,ψ表示静电势φ对ξ的一阶导数.

为了研究多组分尘埃等离子体系统的动力学特征,利用数值模拟方法研究不同系统参数对非线性二维自治动力系统(17)相图的具体影响.

图1 给出了二维自治动力系统(17)的相图随着系统参数马赫数M的变化规律,其他系统参数取值分别为[25,26]:Hb0.8,Hc0.5,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .图1(a)显示:当马赫数M=1.2 时,多组分尘埃等离子体系统中同时存在线性周期波轨道、非线性周期波轨道和同宿轨道.这表明该系统同时存在线性周期波解、非线性周期波解和孤立波解.与此同时,图1(b)和图1(c)显示:随着马赫数M的逐步增大,系统的不同轨道特征不会改变,但多种不同轨道的存在范围会依次增大.

图1 系统相图随马赫数的变化(a)M=1.2;(b)M=1.3;(c)M=1.4Fig.1.Variations of system phase diagram with Mach number:(a)M=1.2;(b)M=1.3;(c)M=1.4.

二维自治动力系统(17)的相图随着系统参数Hb的变化规律见图2,其中,Hc0.5,M1.2,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0.结果显示:当Hb变化时,系统中始终同时存在线性周期轨道、非线性周期轨道和同宿轨道,但各种轨道存在的范围有所变化.与此同时,考 虑到Hb,而µbmd/(Zd0mb),γb(nb0Zd0)/nd0,σbTb/Teff,这表明多组分尘埃等离子体中的各种系统参数,诸如尘埃颗粒和质子流的质量、数密度、电荷量和温度等,均对自治系统的相轨线存在一定的影响.

图2 系统相图随Hb 的变化(a)Hb=0.4;(b)Hb=0.6;(c)Hb=0.8Fig.2.Variations of system phase diagram withHb:(a)Hb=0.4;(b)Hb=0.6;(c)Hb=0.8.

图3 给出了二维自治动力系统(17)的相图随着系统参数Hc的变化规律,其中Hb0.8,M1.2,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0.图3(a)显示:当Hc0.4 时,多组分尘埃等离子体系统中仍然同时存在线性周期波轨道、非线性周期波轨道和同宿轨道.通过对图3(a)—(c)进行对比,系统相图显示:随着Hc逐步增大,系统的不同轨道特征不会改变,但多种不同轨道的存在范围会依次增大.在这里Hc,而µcmd/(Zd0me),γc(nd0Zd0)/nc0,σcTc/Teff,这意味着对于含有Kappa 电子和离子的多组分尘埃等离子体而言,系统平衡状态时的尘埃颗粒和电子的质量、数密度、电荷量和温度的不同,只会使系统相图中不同类型的尘埃声波解的存在范围发生改变,而不会改变系统相图中不同类型尘埃声波解共同存在的基本属性.

图3 系统相图随Hc 的变化(a)Hc=0.4;(b)Hc=0.6;(c)Hc=0.8Fig.3.Variations of system phase diagram withHc:(a)Hc=0.4;(b)Hc=0.6;(c)Hc=0.8.

图4 给出了系统相图随着系统参数µb的变化规律,其他系统参数取值分别为:µc0.6,M1.2,Hb0.8,Hc0.5,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .图4 显示:当系统参数µb取值不同时,多组分尘埃等离子体系统中仍然同时存在线性周期波轨道、非线性周期波轨道和同宿轨道,而且随着µb的逐步增大,系统的多种轨道的存在范围会发生改变,而µbmd/(Zd0mb),这说明当多组分尘埃等离子体中所含的尘埃颗粒质量较大而质子流的质量较小、且平衡状态下尘埃颗粒的电荷量较小时,该自治系统的线性周期波解、非线性周期波解和孤立波解的存在范围将减小.

图5 给出了系统相图随着参数µc的变化规律,其中µb0.7,M=1.2,Hb0.8,Hc0.5,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κiκe2.0 .可以看出,当系统参数µc从0.3 增加到0.6 再增加到0.9 时,系统相图中不同类型的尘埃声波解的存在范围随着系统参数µc的增大而增大,这与图4 系统相图随着系统参数µb的变化有所不同,但系统相图中的线性周期波解、非线性周期波解和孤立波解三种不同类型的波解结构不会发生改变.

图4 系统相图随µb 的变化(a)µb=0.3;(b)µb=0.6;(c)µb=0.9Fig.4.Variations of system phase diagram withµb :(a)µb=0.3;(b)µb=0.6;(c)µb=0.9.

图5 系统相图随µc 的变化(a)µc=0.3;(b)µc=0.6;(c)µc=0.9Fig.5.Variations of system phase diagram withµc:(a)µc=0.3;(b)µc=0.6;(c)µc=0.9.

图6 给出了自治动力系统(17)的相图随着系统参数σd的变化规律,其他系统参数取值分别为:M1.2,Hb0.8,Hc0.5,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,κiκe2.0 .不难看出,当其他参数取定值时,而多组分尘埃等离子体中所含的尘埃颗粒的温度与有效温度的比值σd取值不同时,系统相图中各种轨道的存在范围发生变化,由于σdTd/Teff,也就是说尘埃颗粒的温度越高,系统相图中线性周期波轨道、非线性周期波轨道和同宿轨道的存在范围越小.

图6 系统相图随σd 的变化(a)σd=0.0004;(b)σd=0.0006;(c)σd=0.0008Fig.6.Variations of system phase diagram withσd:(a)σd=0.0004;(b)σd=0.0006;(c)σd=0.0008.

图7 给出了系统参数κi对自治动力系统相图的影响,其中M1.2,Hb0.8,Hc0.5,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κe2.0 .从图7 可以看到,当Kappa 分布离子数κi分别为2.0,2.5,3.0 时,该自治系统同时存在线性周期波轨道、非线性周期波轨道和同宿轨道,但多种不同轨道的存在范围会依次减小.二维自治动力系统的相图随系统参数κe的变化规律由图8 给出,其他系统参数分别为:M1.2,Hb0.8,Hc0.5,µb0.7,µc0.6,δe0.08,δi0.1,σd0.0009,κi2.0.结果表明:当系统参数κe取值不同时,该系统同时存在线性周期波解、非线性周期波解和孤立波解,不难看出,当Kappa 分布电子数κe从2.0 增加到2.5 时,系统相图中不同类型的尘埃声波解的存在范围增大,但当系统参数κe从2.5 增加到3.0 时,系统相图中尘埃声波解的存在范围变化不大.

图7 系统相图随κi 的变化(a)κi=2.0;(b)κi=2.5;(c)κi=3.0Fig.7.Variations of system phase diagram withκi:(a)κi=2.0;(b)κi=2.5;(c)κi=3.0.

图8 系统相图随κe 的变化(a)κe=2.0;(b)κe=2.5;(c)κe=3.0Fig.8.Variations of system phase diagram withκe:(a)κe=2.0;(b)κe=2.5;(c)κe=3.0.

为了研究多组分尘埃等离子体中的非线性尘埃声孤波的传播特征,将(16)式等式两边同乘以dφ/dξ,并对ξ积分一次可得Sagdeev 势方程:

其中Sagdeev 势函数为

接下来,通过数值模拟对Sagdeev 势进行分析讨论,从而进一步明确多组分尘埃等离子体的多种系统参数对非线性尘埃声波的具体影响.图9 给出了Sagdeev 势函数随不同系统参数的变化规律.可以看出存在φm＜0,使得0且,这意味着该系统仅存在振幅小于0的稀疏型孤立波.

图9(a)给出了系统参数Hb对Sagdeev势V(φ)的具体影响,结果表明孤立波的振幅φm随着系统参数Hb的增加而减小.考虑到Hb,而µbmd/(Zd0mb),γb(nb0Zd0)/nd0,σbTb/Teff,这说明多组分尘埃等离子体中的各种系统参数,诸如尘埃颗粒和质子流的质量、数密度、电荷量和温度等系统因素,均对稀疏孤立波的振幅存在显著影响.图9(b)显示随着参数Hc的逐步增加,孤立波的振幅φm将依次增大.而考虑到Hc,其中µcmd/(Zd0me),γc(nd0Zd0)/nc0,σcTc/Teff,这表明当多组分尘埃等离子体中所含的尘埃颗粒质量大、数密度高且电荷量低时,该系统中的非线性尘埃声孤波的振幅就较大;而当电子质量大、电子流数密度高且温度高时,该系统中的非线性尘埃声孤波则振幅较小.图9(c)—(f)给出了系统参数µb,µc,M和σd取不同值时,Sagdeev 势函数的变化规律,由图9(c)和图9(f)可知,孤立波的振幅φm随着系统参数µb和σd的增大而减小,这与图9(a)中的结果相同.而图9(f)说明σdTd/Teff越大孤波振幅越小,即尘埃颗粒的温度越高孤立波的振幅φm越小.同理从图9(d)和图9(e)可知,孤立波振幅φm的变化情况与图9(b)类似,即随着系统参数µc和马赫数M的增大,孤立波的振幅φm也随之增大.

图9 Sagdeev势V(φ)随不同参数的变化规律Fig.9.Variations of Sagdeev potentialV(φ)with different parameters.

图10 给出了Sagdeev势V(φ)随Kappa 分布电子数κe和离子数κi的变化规律,表明多组分尘埃等离子体系统中所含的Kappa 电子分布数κe的增加和Kappa 离子分布数κi的减少,将使孤立波的振幅φm增大.这说明多组分尘埃等离子体系统中电子和离子的Kappa 分布形式对Sagdeev 势函数及稀疏型孤立波的传播特征均存在重要影响.接下来对Sagdeev 势方程(18)进行求解,可得到非线性尘埃声孤波的形式如下:

其中θkξ-ω0τ,k为ξ方向的波数,ω0为波速;φm-2A1/(3A2)和D(2/A1)-1/2分别为孤立波的振幅和宽度.

图11 给出了多组分尘埃等离子体系统中非线性尘埃声孤波的波形随着系统参数的变化趋势.结果显示:当参数Hb,Hc,µb,µc,M和σd取值不同时,该系统仅存在振幅小于0 的稀疏型孤立波.该结论与Sagdeev 势函数的数值模拟结果保持一致.图11(a),(c),(f)表示,当系统参数Hb,µb和σd增加时,孤立波振幅减小而宽度增大;而当系统参数Hc,µc和M增加时,孤立波的振幅增大且宽度减小.这些结论与图10 中Sagdeev 势函数所反映的结论相一致.

图10 Sagdeev势V(φ)随κe和κi 的变化规律Fig.10.Variations of Sagdeev potentialV(φ)withκeandκi .

图11 孤立波φ 的波形随不同参数的变化规律Fig.11.Waveform variation law of the solitary wavesφ with different parameters.

非线性尘埃声孤波的波形φ随电子和离子Kappa 分布数κe和κi的变化规律如图12 所示,孤立波的振幅φm随着κe的增大而增大、随着κi的增大而减小.这表明当多组分尘埃等离子体系统中含有较多的Kappa 分布电子和较少的Kappa 分布离子时,非线性尘埃声孤波将具有更大的振幅.

图12 孤立波φ 的波形变化规律Fig.12.Waveform variation law of the solitary wavesφ .

本文研究了由尘埃颗粒、电子流、质子流、Kappa 电子和离子所组成的多组分尘埃等离子体中非线性尘埃声孤波的传播特征.利用Sagdeev 势方法求解得到二维自治动力系统具体表示形式,并通过数值模拟方法得到相图,结果显示:多组分尘埃等离子体系统中同时存在线性波解轨道、非线性波解轨道和同宿轨道;而Sagdeev 势函数的变化规律则显示该系统仅存在振幅小于0 的稀疏型孤立波.通过进一步孤立波波形特征的讨论,不难发现含有Kappa 电子和离子分布的多组分尘埃等离子体系统中的多种系统参数对非线性尘埃声孤波的振幅、宽度和波形等传播特征均存在不可忽视的重要影响.

猜你喜欢 波解尘埃声波 约化的（3+1）维Hirota方程的呼吸波解、lump解和半有理解数学物理学报(2022年3期)2022-05-25不染尘埃汉字汉语研究(2021年4期)2021-03-09尘埃有多老学苑创造·A版(2020年4期)2020-04-24(3+1)维广义Kadomtsev-Petviashvili方程新的精确周期孤立波解数学物理学报(2019年5期)2019-11-29尘埃不定中国盐业(2018年20期)2019-01-14爱的声波 将爱留在她身边中国宝玉石(2018年3期)2018-07-09高阶非线性惯性波模型的精确孤立波和周期波解上海师范大学学报·自然科学版(2018年3期)2018-05-14声波杀手小猕猴智力画刊(2017年6期)2017-07-03自适应BPSK在井下钻柱声波传输中的应用西南石油大学学报(自然科学版)(2016年2期)2016-12-01Joseph-Egri方程的单行波解高师理科学刊(2016年8期)2016-06-15