基于GeoGebra的杨氏双缝实验动态模拟
时间：2023-03-01 18:00:07 来源：柠檬阅读网 本文已影响 人 
郑润楠 姜玉梅
(扬州大学物理科学与技术学院 江苏 扬州 225000)
苏俊
(江苏省海安高级中学 江苏 南通 226600;华东师范大学教师教育学院 上海 200062)
1801年英国物理学家托马斯·杨(Thomas Young)的双缝干涉实验，为光的波动学说提供了坚实的实验证据支撑，被美国《物理世界》杂志评选为“最美”的十大物理实验之一[1].杨氏双缝实验不仅被《普通高中物理课程标准》规定为学生必做实验，也是高校光学、大学物理实验等课程的重要内容.
近年来，国内学者对杨氏双缝实验的仿真研究数量颇多，比较常用的软件工具有MATLAB，Mathematica，Labview等[2～4]，均能较好地实现参数可调节和实验现象对应呈现等功能.然而，在课堂教学过程中运行此类大型应用程序并不方便，且现有研究主要侧重于对杨氏双缝实验现象的模拟，对干涉原理的模拟则与常见教科书在介绍双缝实验原理时的配图类似，都是基于惠更斯原理描绘出各个波阵面，并将其与干涉图样在同一平面内呈现，如图1所示.
图1 教科书中关于双缝实验的常见配图
然而，惠更斯原理无法准确解释波的干涉现象[5].并且，静态图无法体现波的传播过程，平面图也难以同时呈现波的叠加与分布，导致部分空间思维能力欠佳的学生在理解该实验时存在一定困难[6].因此，本文运用GeoGebra软件的3D绘图功能，开发了一个三维动态模拟杨氏双缝实验的程序，可作为物理教学的辅助，降低学生的认知负荷，帮助学生更好地理解干涉原理与现象.
杨氏双缝干涉是一种典型的双光束干涉.如图2所示，两光源S1和S2的距离为d，光源所在平面与屏幕平行，两者之间的垂直距离为D，在屏幕上任取一点P，它与S1和S2的距离分别为r1和r2.
图2 杨氏双缝实验示意图
两光源S1和S2的振动方向相同，圆频率为ω，振幅大小分别为A1和A2，初相位分别为φ1和φ2，则S1和S2两点的光振动方程分别为
E10=A1cosωt+φ1
(1)
E20=A2cosωt+φ2
(2)
E10=A1cosk1v1t+φ1
(3)
E20=A2cosk2v2t+φ2
(4)
t时刻，从S1和S2发出的两列波引起P点的光振动分别是
E1=A1cosφ1-k1r1-v1t
(5)
E2=A2cosφ2-k2r2-v2t
(6)
P点处的合振幅为
(7)
P点处的光强为
(8)
其中
Δφ=φ2-φ1-k2r2-k1r1
(9)
当Δφ=±2jπ，j=0,1,2,… 时，干涉相长，光强最大.
当Δφ=±2j+1π，j=0,1,2,…时，干涉相消，光强最小.
杨氏双缝实验的装置通常放在空气中，因此有k1=k2=k，Δφ=φ2-φ1-kr2-r1，在D≫d条件下，光学教科书常通过r2-r1≈dsinθ，sinθ≈tanθ两次近似，得到干涉的规律，而没有对近似条件之外的情况进行详细探讨.近似处理虽便于学生掌握，但会给定量研究引入一些误差，利用几何关系式(10)、(11)求出实际的几何路程则可避免这一误差.
(10)
(11)
GeoGebra是一款免费、开源、兼容性高的动态数学软件，近年来将其用于辅助中学物理教学的研究热度较高，其动态演示功能可以帮助学生更直观地理解物理概念与规律.由于它还是一款渐进式网页应用(PWA)，因此教师可直接在课堂上用浏览器打开链接进行演示，十分便捷.本节将对运用GeoGebra软件开发此模拟演示程序时的主要思路与步骤进行介绍.
第一步定义物理量：首先，打开GeoGebra的3D绘图区和默认绘图区，调整合适的界面格局；
然后，运用“描点”工具在3D绘图区的y轴上取一点，命名为S1，使用“定长线段”工具设置在y轴上与点S1距离为d的点S2.接着，在与y轴距离为D处绘制一条平行于y轴的直线，在直线上取一点P，连接PS1和PS2，连线与x轴方向的夹角分别设为α1和α2；
最后，在默认绘图区中创建对应物理量的“滑动条”.
第二步输入方程：为了演示波的传播过程，首先输入从两光源S1和S2发出光波的波动方程.以光传播距离在x轴方向上的投影为自变量X，t时刻，在S1P方向上与S1相距l1的一点P1(xP1,yP1)处产生的光振动为
EP1=A1cosφ1-k1l1-v1t
(12)
同理，S2在与其相距l2的一点P2(xP2,yP2)处产生的振动为
EP2=A2cosφ2-k2l2-v2t
(13)
且由于P1是线段PS1上的一点，因此，有
(14)
同理，对P2，有
(15)
在GeoGebra的“代数区”中输入相应代码，如图3所示，即得到两列波的图样，为了模拟波形随时间的推进，此处还定义了自变量随时间变化的取值范围.
图3 部分程序代码
之后输入不含近似处理的合振幅分布函数式(7)与光强分布函数式(8)等的代码，可得到合振幅分布曲线以及光强分布曲线等图样.
第三步为功能拓展与完善：首先，由于杨氏双缝实验要求两束光为相干光，所以在程序中设置了一个“同步”的功能，可以通过点击“同步”按钮将S1和S2的角波数、波速、初相位快速进行统一；
之后，为了更直观地呈现“干涉相消”和“干涉相长”现象，通过波动方程模拟出两列波到达P点之后的延续状态以及叠加后的波形；
最后，为了让学生更直观地体会光程差对叠加效果的影响，尤其是当φ2=φ1时，光程差的作用效果，基于“折射率n=1时，光程差等于几何路程差”的结论，以P点为圆心、以r1和r2两者中的较小者为半径，用虚线绘制了一个辅助圆，并用对比色突现出几何路程差值部分的波形，加以复选框功能让用户自行选择是否显示相关内容.最终模拟程序的界面及其链接二维码如图4所示.
(a)
(b)
3.1 光波的传播与叠加
此程序可向学生动态展示从S1和S2发出的两列波的传播过程以及在P点叠加的任意情况，尤其是在P点发生干涉相长和干涉相消的情况.例如：在λ1=λ2=10参数条件下的两列相干波，当光程差恰好等于一个波长时，如图5(a)所示，则合振幅最大，光强最大；
而当光程差恰好等于半个波长时，如图5(b)所示，则两列波相互抵消，合振幅最小，光强最小.
运用GeoGebra进行动态模拟演示，可将抽象的干涉规律形象化，调动学生的视觉直观功能，从而加深学生对干涉现象及干涉条件的理解.
(a)杨氏双缝实验干涉相长的动态模拟
(b)杨氏双缝实验干涉相消的动态模拟
3.2 不同参数下的干涉图样
学生对光波波长λ,双缝间距d,光屏与双缝距离D这些参数对干涉图样影响的认识，仅局限于在近似条件下干涉图样相邻明(暗)条纹的间距Δx与上述参数间的定量关系式
(16)
由于缺乏形象感知，大部分学生对此公式只能死记硬背，更不了解不同参数对干涉图样强度的影响.而GeoGebra可以将这些参数对干涉强度和干涉条纹间距的影响可视化，有助于学生灵活把握此类公式，加深对杨氏双缝实验的理解.
例如，分别设置λ,d,D对应滑动条的播放速度，可以直观地演示干涉图样随单一参数的动态变化，从而让学生感知相邻明(暗)条纹间距Δx与λ,d,D3个参数之间的定性关系，如图6所示.
而通过调节“全局设置”中的“精确度”，还可运用GeoGebra直接测出干涉图样相邻明(暗)条纹的间距Δx.如图7所示，设置精确度为“保留10位小数”，输入参数λ=640 nm，d=0.4 mm，D=50 cm，可计算出相邻两暗条纹的间距，即B,C两点的距离，所得结果与运用近似公式(16)计算的结果差异极小，表明GeoGebra也可用于开展物理定量研究.
图6 杨氏双缝实验光强分布的动态模拟
图7 运用GeoGebra测量相邻暗条纹的间距
本文运用GeoGebra软件的3D绘图功能，开发了一个动态模拟杨氏双缝实验的程序，能够实现干涉过程的可视化，直观地揭示出干涉现象的成因，还能用于定性和定量地研究干涉条纹、光强分布与光波波长λ,双缝间距d和光屏与双缝距离D的关系，辅助杨氏双缝实验的教学.并且，由于此程序中几乎所有参数都可自行设置，因此,除了用于模拟相干波的叠加，还可用于研究其他非相干波的叠加.GeoGebra程序的源代码都是开放的，教师可根据教学与研究的需要对本文所设计程序进行更深入的拓展与应用.
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